Limite: Equação da Assintota obliqua

[F.Augusto]

Sabe-se que o gráfico da função f(x) = \(\sqrt[3]{6x^2-x^3}\) possui uma assintota oblíqua. Determine a equação dessa assintota e prove que a curva de f(x) intercepta a mesma.


Resp: -x+2



Me ajudem... Muito Obrigado !!

[Sobolev]

Se f possui uma assimptota obliqua de de equação y = mx +b então

\(m = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{\sqrt[3]{6x^2-x^3}}{x} = \lim_{x\to \pm \infty}\sqrt[3]{\frac{6}{x}-1} = -1\)

Então f terá potencialmente duas assimptotas, ambas com declive -1. As ordenadas na origem correspondentes pode ser calculadas como

\(b_1 = \lim_{x\to -\infty} (f(x)-mx) = \lim_{x\to -\infty} (\sqrt[3]{6x^2-x^3} + x) = \cdots =2\)

\(b_2 = \lim_{x\to +\infty} (f(x)-mx) = \lim_{x\to +\infty} (\sqrt[3]{6x^2-x^3} + x) = \cdots =2\)

Neste caso verificamos que a mesma recta (y = -x+2) é assimptota quer em \(+\infty\) quer em \(-\infty\).