Limites envolvendo incógnitas elevadas a qualquer número

[André Pedreira]

Alguém poderia me ajudar com esse limite?

lim x^n - 1 / x -1
x->1

[josesousa]

\(\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x -1}\)

É uma indeterminação 0/0, pode ser resolvida com a regra de L'Hôpital (http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l'H%C3%B4pital).

\(\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x -1}=\)
\(\lim_{x \to 1} \frac{n.x^{n-1}}{1}=n\)

[André Pedreira]

Obrigado pela resposta.

Mas eu gostaria de saber como resolver por Binômio de Newton.

[André Pedreira]

Obrigado pela resposta.

Mas eu gostaria de saber como resolver por Binômio de Newton.

[Rui Carpentier]

Faça então a mudança de variável \(y=x-1 \Leftrightarrow x=y+1\) e então o limite fica:

\(\lim_{y\to 0}\frac{(y+1)^n-1}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{y^n+ny^{n-1}+{n\choose 2}y^{n-2}+\cdots +{n\choose n-2}y^{2}+ny+1-1}{y}=\lim_{y\to 0}y^{n-1}+ny^{n-2}+{n\choose 2}y^{n-3}+\cdots +{n\choose n-2}y+n=n\)