Alugém me ilumina com Limites de Funções Trigonométricas

[André Pedreira]

Alguém poderia me ajudar com esse limite?

lim 1 - cosx / x * sinx
x->0

[Sobolev]

Tratando.se de uma indeterminação de 0/0 pode usar a regra de Cauchy (2 vezes, já que o segundo limite também conduz a uma indeterminação de 0/0)

\(\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x \sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{ \cos x + \cos x - x \sin x} = \frac {1}{1+1-0} = \frac 12\)

[André Pedreira]

No gabarito está 1/2.

Segue a resolução:

lim 1-cosx / xsinx => (1-cosx)/(xsinx) * (1+cosx)/(1+cosx) = 1-cos²x/sin²x(1+cosx) = sin²x / sin²x(1+cosx) = 1/2
x->0

[Sobolev]

É verdade, enganei-me no ultimo passo... cos 0 = 1... vou corrigir no post inicial.

[André Pedreira]

Vlw, obrigado pela atenção. =)