Limite envolvendo trigonometria

[jpsmarinho]

O valor de \(\lim_{x \to +\infty}\frac{( 2x^2+2)}{x}*sin(\frac{x}{x^2+1})\)

Eu não sei se posso colocar o lim dentro de sin... Acredito que não:
\(sin(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2+1}\)

[josesousa]

Não pode. Mas pode ver que é uma indefinição do tipo

\(+\inft . 0\)

já que
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+2}{x} = + \infty\)
e
\(\lim_{x \to +\infty} sin(\frac{x}{x^2+1}) = 0\)

Assim, pode usar a regra de L'Hôpital em ou lembrar-se que

\(\lim_{u(x) \to 0} \frac{sin(u(x))}{u(x)}=1\)

e que a expressão inicial pode ser escrita como
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{sin(\frac{x}{x^2+1})}{\frac{x}{2x^2+2}} =\)
\(\lim_{x \to +\infty} 2 \frac{sin(\frac{x}{x^2+1})}{\frac{x}{x^2+1}} = 2\)

[jpsmarinho]

Muito obrigado!