convergencia uniforme de uma sequencia de funções

[Walter R]

Boa tarde!
Gostaria de uma dica para provar que se \(f_n:X \rightarrow \mathbb R\) é uma sequencia de funções que converge uniformemente para \(f\), e se existe \(c>0\) tal que \(g\ge c\), para todo \(x\in X\), então \(\frac{1}{f_n}\) converge uniformemente para \(\frac{1}{f}\) em \(X\).

demonstração:

\(\left | \frac{1}{f_n}-\frac{1}{f} \right |=\frac{|f_n-f|}{|f_n||f|}\le\frac{|f_n-f|}{|f_n|c}\). Mas como \(f_n\) é convergente, isto me diz apenas que \(f_n\) é limitada, ou seja, que existe \(K>0\) tal que \(|f_n|\le K\Rightarrow \frac{1}{K}\le \frac{1}{|f_n|}\) e o que eu preciso é encontrar que \(\frac{1}{K}\ge \frac{1}{|f_n|}\) para continuar a demonstração. Note que \(f_n\rightarrow f>c\) não implica necessariamente que \(f_n>c\)
para todo \(x \in X\), a não ser que \(f_n\) seja monotona.


Não percebo onde está o erro. Abraço!

[Sobolev]

Boa tarde Walter,

Como \(f_n \to f\) uniformemente em X e \(f \ge c\) então existe certamente \(0 < \tilde{c} \leq c\) tal que a partir de certa ordem se tem \(f_n \ge \tilde{c}\). Assim,

\(\lim_n \sup_{x \in X}\left| \frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f_n(x)}\right| \leq \frac{1}{c} \lim_n \sup_{x \in X} \frac{|f(x)-f_n(x)}{f_n(x)} \leq \frac{1}{ \tilde{c} c} \lim_N \sup_{x \in X} |f(x)-f_n(x)| = 0\)

[Walter R]

Olá Sobolev, tudo bem?
Antes de mais nada, obrigado pela resposta: resolveu minha dúvida.
Apenas queria um esclarecimento adicional quando a dois pontos:

1) Porque você usou \(\lim \ sup\) na demonstração, se a convergência de \(f_n\)
implica que \(lim \ sup f_n=\lim inf f_n= limf_n\)?

2) Se agora quero provar que se \(f_n\rightarrow f\),\(g_n\rightarrow g\) uniformemente, com \(f,g\) limitadas, então \(f_ng_n\rightarrow fg\) uniformemente, posso partir do fato de que \(|f_ng_n-fg|\le|f_n||g_n-g|+|g||f_n-f|\).

Então \(g\) limitada \(\Rightarrow |g|\le c\) para algum \(c \in \mathbb{R}\) e para todo \(x \in X\). Usando um argumento análogo ao seu, posso afirmar que como \(f_n\rightarrow f\) uniformemente, então \(\exists n_0\in \mathbb{N}\) tal que \(n>n_0\Rightarrow| f_n|<c\)?

[Sobolev]

Viva,

Eu não usei o limite superior, talvez o TeX não tenha ficado perceptível... A verificação da convergência uniforme é equivalente a verificar que

\(\lim_{n \to \infty}\left( \sup_{x \in X}|f(x)-f_n(x)| \right)=0\)

em relação ao ponto 2 Parece-me ok.