Sobre a representação geométrica de uma derivada

[Yuri94]

Pessoal, é uma dúvida simples, mas que está me incomodando...

Como posso representar graficamente, por exemplo, uma derivada sem definir um ponto em especial?

Por exemplo, sei que a derivada da função y=2x é igual a 2, mas como representar isso num gráfico?

Pensei naquela relação com acréscimo (Lim h-> 2x f(2x+h)-f(2x)/h), só que não deu muito certo, alguém entendeu minha dúvida e poderia me ajudar?

[Yuri94]

Bom, burrice à parte, sei que isso é no ponto 0 =D

[Yuri94]

Pessoal, acho que entendi meu problema inicial. Aí, porém, veio outra dúvida.


Traçando o gráfico dessa função por onde passaria a reta tangente?

[Fraol]

Bom dia,

Em geral, a função derivada representa como a função original varia ( em relação a x, no caso de uma variável ).

No caso de y=2x, a derivada 2 (constante) indica que a variação da função 2x é constante e sempre vale 2. A representação geométrica da reta tangente fica prejudicada, mas você poderia imaginar uma reta com inclinação 2 e que passa por um determinado ponto da função y=2x, por exemplo x=1. Como seria essa reta? Quer pensar um pouco?

[Yuri94]

Valeu, frol, mas, tipo, li mais algum conteúdo hoje e a algumas dúvidas a mais vieram à tona.

Por exemplo, voltando à pergunta inicial, toda vez que derivamos uma função sem o ponto definido é uma derivada, pela definição, aplicada em 0? Tipo, 2x`=2, x²`=2x, etc...

Se eu uso, porém, a definição da derivada no ponto de x² ela não dá 2x, e sim 0 (Lim x->0 x²-0²/x-0= Lim x->0 x=0).

Eu imaginava que Lim h->0 f(x+h)-f(x)/h era uma derivada definida em 0, mas, pelo jeito, não é bem isso! E é importante eu entender isso pra eu poder, por exemplo, representar isso graficamente. Parece simples, mas eu me atrapalho mesmo.

Abraços.

[Fraol]

Pegando a expressão:

\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

Veja que é o \(h\) que tende a 0 e não o \(x\). Por isso que não é, em particular, o caso de \(x\) tendendo a 0.

Mas o que é esse tal de \(h\) tendendo a 0 . Se você pegar a origem disso, verá que o \(h\) é o \(\Delta x = x - x_0\) verá que \(x-x_0\) tende a 0 quando \(x\) tende a \(x_0\).

Em outras palavras, a definição de derivada serve para avaliar a variação da função quando o x varia "quase" nada (\(\Delta x \rightarrow\) 0 ou \(h \rightarrow 0\)).

[Yuri94]

Valeu, Fraol, te amo, cara! haha