Demonstração de que toda derivada num ponto é contínua nele

[Yuri94]

Olá, pessoal, mais uma vez aqui.

Vi uma demonstração do que comentei no título, mas, bem, não entendi direito.

Sei que, para haver continuidade, f(x) precisa estar definida num ponto, o limite neste existir e Lim x->x1 f(x)= f(x1).

Na prática parece mais complicado conforme a imagem. Por que a soma de f(x)+f(xo)-f(xo)? E (x-xo)f(x)-f(xo)/x-xo é simplesmente f(x)-f(xo) aplicada no ponto?

Valeu!

Anexos

demonstr.jpg (39.25 KiB) Visualizado 4262 vezes

[Sobolev]

Realmente a demonstração que transcreve dá umas voltas um pouco desnecessárias. De facto, apenas é preciso notar que (e isso consta da demonstração) que:

\(\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (x-x_0) \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \left(\lim_{x \to x_0} (x-x_0 )\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) = 0 \cdot f'(x_0) = 0\)

o que significa que

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

[Yuri94]

Por que a diferença entre eles e por que o produto igual 0 significa que é continua no ponto?

Valeu!

[Sobolev]

Repare que pegando o primeiro e último termo na primeira fórmula que escrevi temos

\(\lim_{x \to x_0} (f(x)-f(x_0)) = 0\)

o que é equivalente sucessivamente a
\(\lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x\to x_0} f(x_0) = 0 \Leftrightarrow
\lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) = 0 \Leftrightarrow
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)

e esta última igualdade é justamente a definição de continuidade no ponto \(x_0\).

[Yuri94]

Realmente a demonstração que transcreve dá umas voltas um pouco desnecessárias. De facto, apenas é preciso notar que (e isso consta da demonstração) que:

\(\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (x-x_0) \cdot \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \left(\lim_{x \to x_0} (x-x_0 )\right) \cdot \left(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right) = 0 \cdot f'(x_0) = 0\)

o que significa que

\(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Agora entendi, Subolov, valeu! Só veio uma dúvida agora, neste caso matemática. Não entendi por que o limite da diferença entre f(x)-f(xo) acabou virando o produto do limite entre (x-xo)(f(x)-f(xo)/x-xo).

Obrigado!

[Sobolev]

Foi só um artificio para aparecer a expressão da derivada... Na verdade trata-se simplesmente de multiplicar e dividir pela mesma expressão (x-x_0), o que naturalmente não muda em nada o valor da expressão inicial.

[Yuri94]

Valeu!

[Walter R]

Desculpem a intromissão, mas acho que a proposição da pergunta está equivocada, pois não é verdade que "toda derivada num ponto é contínua neste ponto". O que ficou demonstrado é que "se existe a derivada num ponto, a função é contínua neste ponto", ou equivalentemente, "toda função derivável é contínua".

[Sobolev]

sim Walter, acho que foi apenas um problema de comunicação no assunto da primeira mensagem.