Gráfico da derivada em determinado ponto

[Yuri94]

Olá, pessoal!

Bom, filosofando um pouco de cálculo agora há pouco fiquei em dúvida quanto ao comportamento da reta tangente em determinado tipo de situação.

Imaginei uma situação simples, y=2x²-1

Bom, de cabeça notei que era contínua e seu resultado 0. Agora vêm as dúvidas, a derivada desta função no ponto 0 é igual a 0 e este limite, pela definição, existe. Eu estaria errado em pensar que a derivada é 0 neste ponto porque a reta tangente forma um ângulo de 90 graus com o eixo de x e por isso não toca ~num eixo imaginário da tangente~?

Agora uma dúvida tangente (rs) ao gráfico! Segundo a definição a minha reta tangente não deveria tocar a curva num só ponto (0,-1)? Como eu posso representar isso neste gráfico (tentei de vermelho, mas acho que tá errado)?

Anexos

tg.jpg (13.71 KiB) Visualizado 3191 vezes

[Yuri94]

errei no paint ali a posição dos 90 graus, mas não sei editar o post ><

[Fraol]

Bom dia,

A derivada de \(2x^2 -1\) é \(4x\). No ponto \(x=0\), essa derivada é \(0\) e indica que a tangente ao gráfico da função não possui inclinação, logo é horizontal. Anexei uma figura ilustrativa, veja:

tang2grau.png (7.13 KiB) Visualizado 3177 vezes

[Yuri94]

Resultado devidamente provado, Fraol. Valeu!

Uma última dúvida agora, se minha reta tangente fosse posicionada a 90 graus não existiria derivada, não? Uma vez que ela não tocaria o eixo da tangente e (senpi/cospi=1/0).

Cálculo é tão bonito *__*

[Yuri94]

corrigindo*

(senpi/2)/(cospi/2)=1/0, logo não há inclinação e, portanto, derivada.

[Fraol]

Oi, no caso de o ângulo ser de 90^o não há tangente. Tem várias explicações para isso, entre elas eu gosto daquela representada na figura abaixo, veja que se o ângulo for o reto então ao prolongarmos o raio do círculo trigonométrico ele não tocará a reta das tangentes, logo não há tangente.

tang.gif (3.91 KiB) Visualizado 3171 vezes

Uma outra forma de pensar (grifo meu) é que para ser tangente deve ter um e apenas um ponto em comum. Mas uma reta nas condições que discute-se mais acima ou é coincidente com o eixo dos y e tem infinitos pontos em comum ou é paralela não coincidente com o eixo dos y e daí não há ponto em comum.

[Yuri94]

Obrigado, Fraol!