limite de funçao seno com duas variaveis

[hmm...]

Em uma questão pedia para resolver:

\({\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}}\frac{sin(x)}{y}\)

como x e y vão para 0, coloquei que y tende a x e x tende a 0.
cheguei no limite fundamental trigonométrico e coloquei a resposta lim f(x,y) = 1.
me disseram que não existe o limite.
por que não existe?

[josesousa]

Para existir o limite este tem de ser igual para todas as "curvas" que tendem para o ponto (0,0).
As "curvas" podem ser as retas y=mx, parábolas (y=mx^2) e muitas mais.

Para provar que não existe limite, basta ver duas trajetórias diferentes que tendam para (0,0) e ver que o limite é diferente.

podemos ver por exemplo as retas y=mx.

\({\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0), y=mx}}\frac{sin(x)}{y}=\)
\({\lim_{x\rightarrow 0}}\frac{sin(x)}{mx}=\frac{1}{m}\)

Assim sendo, o limite depende do declive da reta, e logo, não existe limite!