limites de funçoes de duas variaveis

[Deyse34]

Calcule o limite ou mostre caso ele não exista


\(lim (x,y)\rightarrow (0,0) x^2y^2/(x^2+y^2)(1+\sqrt{x^2+y^2+1})\)

[Sobolev]

\(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+\sqrt{x^2+y^2+1})} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\)

Relativamente a este último limite, observando que

\(\left| \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} - 0\right| \leq \frac{(x^2+y^2)(y^2+ x^2)}{x^2 + y^2} = x^2+y^2 \to 0\)

vemos que o limite em causa existe e é zero.