Limite quando numerador e denominador tendem a zero

[jrochavidal]

Bom dia,
a tempo que venho tentando resolver algumas questões de limites mas devido a minha falta de conhecimento em alguns assuntos anteriores, fico meio perdida, por isso estou precisando da ajuda de vocês para entender algumas coisas.
Existe alguma regra para resolver limites quando o numerador e o denominador tendem a zero?
Em alguns casos, nos limites mais simples como:
\(lim \frac{3x^2-2x}{3x}\)
quando x tende a 0
Mas como é feito nas demais como:\(lim \frac{5x^2-35x}{3x-21}\)
quando x tende a 7
ou então quando \(lim \frac{x^2-4}{x^2+5x-14}\)

Nessa última, já tentei fazer o denominador por báscara mas não estou sabendo encaixar as coisas.
Alguém pode me orientar?

[Rui Carpentier]

O truque é decompor os polinómios em fatores. Se um polinómio \(p\) é tal que \(p(a)=0\) então \(p(x)=(x-a)q(x)\) onde \(q\) é o polinómio que se obtem dividindo \(p(x)\) por \(x-a\). Por exemplo, \(5x^2-25x=(x-7)\times 5x\) e \(3x-21=(x-7)\times 3\) logo
\(\lim_{x\to 7}\frac{5x^2-25x}{3x-21}=\lim_{x\to 7}\frac{(x-7)\times 5x}{(x-7)\times 3}=\lim_{x\to 7}\frac{5x}{3}=\frac{35}{3}\)

A mesma ideia para o segundo limite (estou a supôr* que é quando x tende para 2).
\(\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2+5x-14}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)\times (x+2)}{(x-2)\times (x+7)}=\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x+7}=\frac{4}{9}\)

* Se o limite for quando x tende para \(+\infty\) ou \(-\infty\) o método é outro. Põe-se em evidência o termo de maior grau (quer no numerador quer no denominador). Assim,

\(\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-4}{x^2+5x-14}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{5}{x}-\frac{14}{x^2}\right)}=\lim_{x\to \infty}\frac{1-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{5}{x}-\frac{14}{x^2}}=\frac{1-0}{1+0-0}=1\)

[jrochavidal]

Obrigada pela explicação Rui Carpentier,
chegando a casa vou resolver minhas questões com o que entendi da sua explicação e posto maiores informações.

Ah.. tem algum livro, tópico, etc que você recomende para maiores dúvidas quanto ao assunto?

Desde já muito obrigada