Cálculo de limite com exponenciais no numerador e no denominador

[GrangerObliviate]

Boa tarde, este limite está a dar-me a volta à cabeça, alguém me poderia ajudar?
Obrigado

\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}-e^{2x}}{e^{3x}+1} \right)\)



NOTA: não sei bem usar o editor de equações mas é o limite quando x tende para mais infinito. O número de neper está elevado a 4x, a 2x e a 3x em cada parcela
NOTA2: Consertei para você. Baltuilhe.

[Baltuilhe]

Boa tarde, este limite está a dar-me a volta à cabeça, alguém me poderia ajudar?
Obrigado

\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}-e^{2x}}{e^{3x}+1} \right)\)



NOTA: não sei bem usar o editor de equações mas é o limite quando x tende para mais infinito. O número de neper está elevado a 4x, a 2x e a 3x em cada parcela
NOTA2: Consertei para você. Baltuilhe.

Boa tarde!

Para resolver, coloquei a maior potência em evidência. Tanto a do numerador quanto a do denominador.

\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}-e^{2x}}{e^{3x}+1} \right)=\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}(1-e^{-2x})}{e^{3x}(1+e^{-3x})} \right)=\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}\left (1-\frac{1}{e^{2x}}\right )}{e^{3x}\left( 1+\frac{1}{e^{3x}} \right)} \right)=\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{e^{4x}}{e^{3x}} \times \frac {\left (1-\frac{1}{e^{2x}}\right )}{\left( 1+\frac{1}{e^{3x}} \right)} \right)=\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( e^{x} \right ) \times \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac {1-\frac{1}{e^{2x}}}{1+\frac{1}{e^{3x}} } \right)=\)
\(+\infty \times \frac{1}{1}=+\infty\)

Espero ter ajudado!