L'Hôpital para limites com índice pertencente aos naturais

[Yoshio Mori]

\(\lim_{t \to \infty } te^{-\frac{t}{2}}, t\in \mathbb{N}\)

Pode-se aplicar L'Hôpital em casos como esse?

[João P. Ferreira]

\(\lim_{t \to \infty } te^{-\frac{t}{2}}, t\in \mathbb{N}\)

Pode-se aplicar L'Hôpital em casos como esse?

Pode meu caro (não sei se o facto de \(t \in \mathbb{N}\) muda muito o panorama para limites, mas presumo ser idêntico a \(t \in \R\) até porque o primeiro refere-se a casos particulares do segundo, ou seja \(\mathbb{N} \subset \R\) )

Repare que está perante uma indeterminação do tipo \(\infty\times 0\) que pode ser convertida numa indeterminação \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\frac{0}{0}\) tal como exige a regra de L'Hopital.
Para tal, basta inverter um dos lados e colocar no denominador, ou seja

\(\lim_{t \to \infty } te^{-\frac{t}{2}}=\lim_{t \to \infty } \frac{e^{-\frac{t}{2}}}{\frac{1}{t}}=\frac{0}{0}\)

ou

\(\lim_{t \to \infty } te^{-\frac{t}{2}}=\lim_{t \to \infty } \frac{t}{e^{\frac{t}{2}}}=\frac{\infty}{\infty}\)

Qualquer dúvida diga

Saudações

[Yoshio Mori]

Agradecido

[Rui Carpentier]

não sei se o facto de \(t\in\mathbb{N}\) muda muito o panorama para limites, mas presumo ser idêntico a \(t\in\mathbb{R}\) até porque o primeiro refere-se a casos particulares do segundo

Sim, se a expressão fizer sentido em \(\mathbb{R}\) e o limite (para \(t\in\mathbb{R}\)) existir temos garantido que o limite para \(t\in\mathbb{N}\) também existe e são ambos iguais (estamos aqui a considerar \(t\to+\infty\), claro). No entanto pode haver casos em que o limite existe para \(t\in\mathbb{N}\) sem que exista o limite para \(t\in\mathbb{R}\) (usando a mesma expressão), é o caso de por exemplo \(\lim_{t\to \infty} \sin\left(2\pi t+\frac{1}{t}\right), t\in\mathbb{N}\).