Limite com logaritmo a tender para infinito

[pedrodaniel10]

Boa tarde, tenho estado a estudar limites desde há algumas semanas e deparei-me há uns dias com um limite que nunca vi que me está a causar dificuldades em resolvê-lo. Gostaria pois que me ajudassem se fosse possível. Obrigado

Anexos

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Editado pela última vez por pedrodaniel10 em 15 fev 2015, 16:29, num total de 2 vezes.
Razão: Retirar Links externos.

[pedrodaniel10]

Tenha atenção às regras do forum. Use a ferramenta LaTex (Editor de equações) ou se necessário anexe as imagens.

Pode usar a regra de Cauchy para chegar à solução.

\(u=\ln (x-1)^2
v=x
u'=\frac{2\ln(x-1)}{x-1}
v'=1\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\ln(x-1)^2}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{2\ln(x-1)}{x-1}}{1} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{2\ln(x-1)}{x-1} \right )\)

Aplica-se novamente

\(u=2\ln(x-1)
v=x-1
u'=\frac{2}{x-1}
v'=1\)

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{2\ln(x-1)}{x-1} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{2}{x-1}}{1} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{2}{x-1} \right )=0\)

[jorge97]

Obrigado, foi o primeiro post, estou agora a aprender a usa LaTex.

[jorge97]

Tenho uma questão para si: seria possível resolver o exercício sem usar a regra de Cauchy, sabendo que não posso usar essa técnica no secundário.
Obrigado

[pedrodaniel10]

Sem o uso da regra Cauchy acho que só se pode chegar à resposta intuitivamente.

\(\ln^2(x-1)=\frac{\log^2(x-1)}{\log^2e}
x=\log(10^x)
\frac{\frac{\log^2(x-1)}{\log^2e}}{\log(10^x)}=\frac{\log^2(x-1)}{\log^2e.\log(10^x)}\)

Olhando para a expressão dá para chegar a uma conclusão que quando x tende para o infinito ou menos infinito a resposta será 0. Eu não encontrei nenhuma forma de chegar a um limite notável sem ter de usar os números complexos. Portanto acho que deve ser a única forma. Eu podia ter transformado logo o x para ln. Mas podia não ser tão intuitivo.

[Sobolev]

Parece haver um equívoco com a interpretação do enunciado... O limite a calcular é

\(\lim_{x\to -\infty} \frac{\log[(x-1)^2]}{x}\)

É necessário que o quadrado esteja dentro do logaritmo pois de outro modo o limite não faria sentido, já que x-1 é negativo quando x < 1.

[jorge97]

Não dá equívoco, a dificuldade está aí mesmo pois \((x-1)^{2}=x^{2}-2x+1\) , e se fizermos o cálculo para \(x^{2}-2x+1>0\) concluímos que quando \(x\rightarrow -\infty\) o logarítmo tem bem soluções. Até ao desenharmos o gráfico conseguimos ver que a função tende para 0 quando
\(x\rightarrow -\infty\) . O problema está ao resolver analíticamente, tenho procurado em tudo o que é livro com limites e nunca surgiu nada desde género.
Quanto à resposta de pedrodaniel10, o método intuitivo parece-me bem, contudo em testes estou restrito aos limites notáveis do formulário de exames, e esse não admite respostas intuitivas.
Obrigado pela atenção.

[pedrodaniel10]

Olá. Acho que cheguei a uma resolução usando os limites notáveis depois de pensar bastante neste exercício.

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln ([x-1]^2)}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln ([-x+1]^2)}{x}\right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{2\ln (-x+1)}{x} \right )
=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (2\right ) \times \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln (-x+1)\frac{-x+1}{x}}{-x+1}\right )
=2 \times \: \: \lim_{y\rightarrow +\infty }\left (\frac{\ln (y)}{y}\right ) \times \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{-x+1}{x}\right )
=2 \times 0 \times (-1)
=0\)

[jorge97]

Parece-me um racicínio acertado, muito obrigado pela ajuda! Deve ter uma capacidade matemática espetacular, parabéns!