Dúvida na resoluçao de um limite

[Sara123]

\(ln((x-1)^2)/x\)
limite quando x tende para menos infinito de ln((x-1)^2)/x.
obrigada

[pedrodaniel10]

Olá. Acho que cheguei a uma resolução usando os limites notáveis depois de pensar bastante neste exercício.

\(\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln ([x-1]^2)}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln ([-x+1]^2)}{x}\right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{2\ln (-x+1)}{x} \right )
=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (2\right ) \times \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{\ln (-x+1)\frac{-x+1}{x}}{-x+1}\right )
=2 \times \: \: \lim_{y\rightarrow +\infty }\left (\frac{\ln (y)}{y}\right ) \times \lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{-x+1}{x}\right )
=2 \times 0 \times (-1)
=0\)

Esse limite foi resolvido neste post: viewtopic.php?f=7&t=8010

[Sara123]

mt obrigada, mas porque é que (x-1) passa a -x+1?
estou no 12º ano e não percebi bem.

[pedrodaniel10]

\((x-1)^2\)\(=(1-x)^2\)

Quer seja para o infinito, quer seja para o mais infinito, como está ao quadrado tenderá para o infinito. Sendo assim colocar o x negativo dentro do quadrado não afetará nada.
Mas quando se tira o quadrado dentro do ln, \(\lim_{x\rightarrow -\infty }2\ln(x+1)\) não existe no conjunto real visto que iria para números negativos.
Então tive que recorrer a esta mudança de modo a que se mantenha no domínio do logaritmo, a representar o limite inicial e é essencial para quando se troca a expressão toda para y e usar o caso notável.

[Sara123]

Pois percebi esse ponto. mas no quarto passo não entendi como resolveu visto que multiplica por aquela expressão o logaritmo e depois divide por -x+1... Esse passo consegue se fazer aplicando a matéria de 12º ano?

[pedrodaniel10]

Bem esse passo consegue-se com os conhecimentos de simplificação de frações do 11º. É necessário alguma perspicácia. Se bem que basta um exemplo que depois racionaliza-se sempre da mesma forma.
Para aplicar o limite notável de \(\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\ln(x)}{x}=0\)
Eu tinha de forçar a aparição de -x+1 no denominador para colocar tudo na mesma varíavel. Nesse caso usei o y
E bem sabe que, para se manter a mesma fração temos de multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo valor. Foi exatamente o que fiz.

Tendo \(x\), o que posso multiplicar para que fique \(-x-1\)?

\(\frac{x(-x-1)}{x}=-x-1\)

Se se multiplica no denominador, também se multiplica no numerador. Eu ali simplifiquei logo.

[Sara123]

Agradeço imenso a sua ajuda. só mais uma coisa: quando se faz mudança de variável não abrange tudo? na resolução que me apresentou temos duas variáveis.

[pedrodaniel10]

Para cada limite só há uma variável.

[Sara123]

Muito obrigada por tudo. já percebi.