Função derivável - Calcule A+B+C

[Estudioso]

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2,\,\,\,\,\,se\,x< 1 & \\ Ax +B, \,\,\,\,\,se\,1\leq x< 2 & & \\ (x-1)^2+C,\,\,\,\,\,se\,x\geq 2 & & \end{matrix}\right.\)

Sabendo que \(f\) é derivável em todo o seu domínio, determine o valor \(A+B+C\).

[Sobolev]

Bom dia dia,

Para a função ser contínua em x=1 os limites laterais devem ser iguais, o que leva à condição \(A+B=1\). Já para a função ser derivável em x=1 devemos ter igualdade entre as derivadas laterais, o que leva à condição \(A = 2\). Assim, observando apenas o que se passa no ponto x = 1, concluímos que \(A=2, B=-1\). De modo similar, exigindo agora continuidade em x=2 obtemos \(C=2\). A diferenciabilidade em x=2 já não é relevante para a determinação das constantes (mas verifica-se realmente para esta escolha de constantes).

Conclusão: \(A+B+C = 3\).