Limites fundamentais trigonométricos x→∏

[Carvalho]

lim Sen(x)
x→∏ x-∏

[pedrodaniel10]

\(\lim_{x\rightarrow \pi }\left (\sin(x) \right )=\lim_{x\rightarrow -\pi }\left (\sin(x) \right )=0\)

[Carvalho]

segundo a resposta do livro é ( -1 )

[pedrodaniel10]

\(\sin(k\pi)=0, \: \forall k\in \mathbb{Z}\)

Como o gráfico é continuo em R, o limite será sempre 0.

Seria -1 caso por exemplo fosse \(\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2} }\left (\sin(x) \right )=-1\)

[Rui Carpentier]

\(\sin(k\pi)=0, \: \forall k\in \mathbb{Z}\)

Como o gráfico é continuo em R, o limite será sempre 0.

Seria -1 caso por exemplo fosse \(\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2} }\left (\sin(x) \right )=-1\)

Pedro, estás a esquecer que do denominador da fração no limite: \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}\). O numerador tende para zero (de facto) mas também tende para zero o denominador.

Para resolver o limite recorrendo a limites fundamentais é só fazer a mudança de variável \(t=x-\pi\). Assim, \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin (t+\pi)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{-\sin t}{t}=-1\).

[pedrodaniel10]

Pedro, estás a esquecer que do denominador da fração no limite: \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}\). O numerador tende para zero (de facto) mas também tende para zero o denominador.

Para resolver o limite recorrendo a limites fundamentais é só fazer a mudança de variável \(t=x-\pi\). Assim, \(\lim_{x\to \pi}\frac{\sin x}{x-\pi}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin (t+\pi)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{-\sin t}{t}=-1\).

Tem toda a razão, foi uma má interpretação da minha parte. Pensava que estava a pedir simplesmente o limite sen(x) quando tende para ∏ e para -∏.

Peço desculpa.