Solucionar limite trigonométrico com seno e cosseno

[vitorvale]

Não consigo resolver esse limite, preciso de ajuda!
Gostaria de uma resolução passo a passo.


lim [sen(x) - x]/[tg(x) - x]
x>0

[pedrodaniel10]

Olá, vai ter que aplicar a regra de Cauchy para conseguir resolver esse limite.

\(\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{(\sin(x)-x)'}{(\tan(x)-x)'} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\cos(x)-1}{\sec^2(x)-1} \right )\)

\(\sec^2(x)-1=\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}-1=\frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\)

\(\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{\cos(x)-1}{\frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{(\cos(x)-1)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{(\cos(x)-1)\cos^2(x)}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{(\cos(x)-1)\cos^2(x)}{-(\cos(x)-1)(1+\cos(x))} \right )=\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{-\cos^2(x)}{1+\cos(x)} \right )=\frac{-1^2}{1+1}=-\frac{1}{2}\)

[vitorvale]

Muito obrigado pela ajuda, não conhecia a regra cauchy! vou pesquisar aqui!