Calcular limite em x → 1 de [1 / x - 1] + [3 / 1 - x³]
21 mar 2015, 17:27
Eu não sou muito de pedir ajuda, mas esse limite já me fez perder muito tempo e eu não estou conseguindo enxergar como resolver essa indeterminação, eu tenho a resposta mas queria ideias para saber como abordar esse problema.
Re: Calcular limite em x → 1 de [1 / x - 1] + [3 / 1 - x³] [resolvida]
21 mar 2015, 18:22
Vamos tentar simplificar a expressão.
\(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^3}=\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^3-1}\)
1 é uma raiz do denominador, então aplica-se a regra de Ruffini.
\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) e deste modo fica:
\(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2+x-2}{(x-1)(x^2+x+1)}\)
Aplicando a fórmula resolvente descobre-se as raizes do numerador e fatoriza-se. -2 e 1 são as raizes!
\(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\)
\(\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+2}{x^2+x+1}\)
\(\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x+2}{x^2+x+1} \right )=1\)
\(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^3}=\frac{1}{x-1}-\frac{3}{x^3-1}\)
1 é uma raiz do denominador, então aplica-se a regra de Ruffini.
\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\) e deste modo fica:
\(\frac{1}{x-1}-\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2+x-2}{(x-1)(x^2+x+1)}\)
Aplicando a fórmula resolvente descobre-se as raizes do numerador e fatoriza-se. -2 e 1 são as raizes!
\(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\)
\(\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+2}{x^2+x+1}\)
\(\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{x+2}{x^2+x+1} \right )=1\)
Re: Calcular limite em x → 1 de [1 / x - 1] + [3 / 1 - x³]
21 mar 2015, 21:01
Muito obrigado PedroDaniel! Resolvi ela agora à pouco, nessa tarde, mas ainda assim te agradeço! Percebi que esse fórum é bem dinâmico, eu não esperava em realmente receber uma resposta. 