Mostre que o limite existe

[Dan.physics]

Sejam f uma função definida em (p,+(infinito)) para algum número real p e \(a, b \in \mathbb{R}\) tais que


\(\lim_{x\rightarrow +(infinito) }(f(x)-ax-b)=0\)

Mostre que existe \(\lim_{x\rightarrow (+infinito)} (f(x)/x)\)
e
\(b=\lim_{x\rightarrow (+infinito)} (f(x)-ax)\)

[TelmaG]

--> Mostrar que \(b=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f\left ( x \right )-ax \right )\) :

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f\left ( x \right )-ax-b \right )=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )-\lim_{x\rightarrow +\infty }ax-\lim_{x\rightarrow +\infty }b=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )-\lim_{x\rightarrow +\infty }ax=b\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f\left ( x \right )-ax \right )=b\)

--> Mostrar que existe limite:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )-\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( ax-b \right )=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( ax-b \right )\)

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{f\left ( x \right )}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right )/\lim_{x\rightarrow +\infty }x=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( ax-b \right )/\lim_{x\rightarrow +\infty }x=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{ax-b}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{ax}{x}-\frac{b}{x} \right )=\left ( a-\frac{b}{+\infty } \right )=a-0=a\)

Como a pertence a R e x tende para + infinito, existe limite de f(x)/x quando x tende para + infinito.

Qualquer dúvida, basta dizer.

[Dan.physics]

Obrigado, são 4 itens, eu só consegui resolver o de mostrar lim (f(x))-ax) = b.
Tem um item que é pra provar que o limite de (f(x)-ax) existe. (tendendo ao infinito.)
Você conseguiria mostrar?

[TelmaG]

Olá,

Você conseguiu mostrar que \(\lim_{x\rightarrow+ \infty }\left ( f\left ( x \right )-ax \right )=b\), e eu acabei por fazer também a demonstração.
Como b pertence ao conjunto dos números reais, você pode afirmar que existe \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f\left ( x \right )-ax \right )\) , porque apenas existe limite quando este é um número real; se fosse igual a infinito não existia limite.
Então para mostrar que existe este limite, basta recorrer à demonstração \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( f\left ( x \right )-ax \right )=b\) já efetuada.
Espero ter ajudado. Você falou em 4 itens, então se tiver dúvidas no restante não hesite em perguntar.