O limite de duas variáveis existe? Quanto vale?

[Estudioso]

Boa noite amigos!

Ache \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\) se existir.

Bom, estou a resolver pelo teste dos caminhos.

Primeiro fiz ao longo da curva y = x³ (Resultado: 0)

Depois fiz ao longo da reta x = -y (Resultado: 0)

Por último fiz ao longo da curva x = y² (Resultado: 0)

Pelos resultados obtidos estou suspeitando que o limite existe e é igual a zero.

Até encontrei uma solução na internet mostrando que de fato o limite existe e é igual a 0. Na resolução eles estão usando o épsilon e delta.

Minha dúvida: É possível generalizar o meu resultado em algo que seja padrão para tentar fugir do épsilon e delta que é muito complicado?

Obrigado

[Rui Carpentier]

Uma maneira de fugir ao raciocínio por épsilon e delta é majorar a função por outra que sabe que tende para zero:

\(\left|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\right|=3\left|\frac{x^2}{x^2+y^2}\right||y|\leq 3|y|\), como \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}|y|=0\) então \(\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0\)