f(x,y) é contínua? Gostaria que avaliassem minha resolução
31 mar 2015, 01:02
Seja \(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2y}{x^2+y^2}\,\,\,se\,(x,y)\neq 0 \\ \\ 0\,\,se\,(x,y)=(0,0) & \end{matrix}\right.\)
Gostaria de saber se estou pensando corretamente.
1°) A função f(x,y) é contínua em todo o seu domínio por se tratar de uma função racional.
2°) Apesar do denominador de uma função racional ser diferente de zero, a função está definida para o ponto (0,0).
3°) Para, de fato, dizer que a função é contínua em todo o domínio devo mostrar que o limite da f(x,y) existe. Para isso tomei alguns caminhos: i) Ao longo da curva y = x² (Existe e é igual a 0); ao longo da reta y = -x (Existe e é igual a 0); ao longo da curva x = y² (Existe e é igual a 0). Com isso constato que o limite existe e é igual a zero.
Logo, a função é contínua em todo o \(\mathbb{R}^{2}\).
Agradeço
Gostaria de saber se estou pensando corretamente.
1°) A função f(x,y) é contínua em todo o seu domínio por se tratar de uma função racional.
2°) Apesar do denominador de uma função racional ser diferente de zero, a função está definida para o ponto (0,0).
3°) Para, de fato, dizer que a função é contínua em todo o domínio devo mostrar que o limite da f(x,y) existe. Para isso tomei alguns caminhos: i) Ao longo da curva y = x² (Existe e é igual a 0); ao longo da reta y = -x (Existe e é igual a 0); ao longo da curva x = y² (Existe e é igual a 0). Com isso constato que o limite existe e é igual a zero.
Logo, a função é contínua em todo o \(\mathbb{R}^{2}\).
Agradeço
Re: f(x,y) é contínua? Gostaria que avaliassem minha resolução
31 mar 2015, 10:36
Parece-me que adota uma abordagem pouco coerente e complexa
Lembre-se que uma função racional \(\frac{P(X)}{Q(x)}\) pode ter descontinuidades quando \(Q(x)=0\)
Eu faria:
1) A função está definida por "regiões", a primeira sendo \((x,y) \in \R^2 : (x,y)\neq (0,0)\) e a segunda sendo apenas um ponto \((x,y)=(0,0)\)
2) Na primeira região a função é racional, pois o denominador nunca é zero, logo é contínua.
3) Na segunda "região", que é apenas um ponto, aplica-se a definição do limite: se uma função tem limite num ponto, é contínua nesse ponto.
Os limites através de curvas, ou quaisquer caminhos, não demonstram de forma geral a continuidade num ponto em \(\R^2\), apenas demonstram a não continuidade, caso o valor não dê uma constante (neste caso igual a zero, pois \(f(0,0)=0\)).
Para demonstrar que tem limite, tem de usar sempre a definição formal.
Tem aqui alguns exemplos:
viewtopic.php?f=7&t=1128
viewtopic.php?f=7&t=6621
viewtopic.php?f=7&t=6258
4) Se a função é contínua nas duas "regiões" ou partes, então é contínua em todo o seu domínio.
qualquer dúvida diga
Lembre-se que uma função racional \(\frac{P(X)}{Q(x)}\) pode ter descontinuidades quando \(Q(x)=0\)
Eu faria:
1) A função está definida por "regiões", a primeira sendo \((x,y) \in \R^2 : (x,y)\neq (0,0)\) e a segunda sendo apenas um ponto \((x,y)=(0,0)\)
2) Na primeira região a função é racional, pois o denominador nunca é zero, logo é contínua.
3) Na segunda "região", que é apenas um ponto, aplica-se a definição do limite: se uma função tem limite num ponto, é contínua nesse ponto.
Os limites através de curvas, ou quaisquer caminhos, não demonstram de forma geral a continuidade num ponto em \(\R^2\), apenas demonstram a não continuidade, caso o valor não dê uma constante (neste caso igual a zero, pois \(f(0,0)=0\)).
Para demonstrar que tem limite, tem de usar sempre a definição formal.
Tem aqui alguns exemplos:
viewtopic.php?f=7&t=1128
viewtopic.php?f=7&t=6621
viewtopic.php?f=7&t=6258
4) Se a função é contínua nas duas "regiões" ou partes, então é contínua em todo o seu domínio.
qualquer dúvida diga
Re: f(x,y) é contínua? Gostaria que avaliassem minha resolução
31 mar 2015, 10:41
Bom dia,
Existem vários problemas na sua resolução. Os seus pontos 1 e 2 apenas garantem que a função é contínua para \((x,y)\ne (0,0)\), e não em todo o seu domínio, que é \(\mathbb{R}^2\). Além disso, o facto de os limites direccionais, segundo parábolas e outros serem todos iguais não é garantia que o limite existe. De todos os limites que calculou, a conclusão deverá ser apenas: "Se o limite existir será zero".
Faltou por isso mostrar que o limite em (0,0) é realmente f(0,0)=0. Para isso pode majorar a função por outra que garantidamente tenda para zero. Neste caso,
\(\left| \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} \right| \leq 3 |y|.\)
Existem vários problemas na sua resolução. Os seus pontos 1 e 2 apenas garantem que a função é contínua para \((x,y)\ne (0,0)\), e não em todo o seu domínio, que é \(\mathbb{R}^2\). Além disso, o facto de os limites direccionais, segundo parábolas e outros serem todos iguais não é garantia que o limite existe. De todos os limites que calculou, a conclusão deverá ser apenas: "Se o limite existir será zero".
Faltou por isso mostrar que o limite em (0,0) é realmente f(0,0)=0. Para isso pode majorar a função por outra que garantidamente tenda para zero. Neste caso,
\(\left| \frac{3x^2 y}{x^2+y^2} \right| \leq 3 |y|.\)
Re: f(x,y) é contínua? Gostaria que avaliassem minha resolução
01 abr 2015, 13:28
Bom dia amigos!
Não respondi antes porque não aparecia para mim o ícone de responder. Não sei porque isso acontece, mas fiquei 01 dia sem poder responder questão alguma no fórum.
João Ferreira, achei muito interessante sua argumentação (bem fundamentada e muito coerente). Está me faltando isso: escrever com rigor..
Sobolev, me ficou uma dúvida:
Eu sempre devo testar os caminhos? E, se caso, suspeitar que o limite existe, tentar majorá-la?
Uma outra dúvida: O meu professor não explicou esse processo de majoração da função.. Então, estou ceguinho! Tem como dar algumas dicas por favor?
Obrigado aos dois
Não respondi antes porque não aparecia para mim o ícone de responder. Não sei porque isso acontece, mas fiquei 01 dia sem poder responder questão alguma no fórum.
João Ferreira, achei muito interessante sua argumentação (bem fundamentada e muito coerente). Está me faltando isso: escrever com rigor..
Sobolev, me ficou uma dúvida:
Eu sempre devo testar os caminhos? E, se caso, suspeitar que o limite existe, tentar majorá-la?
Uma outra dúvida: O meu professor não explicou esse processo de majoração da função.. Então, estou ceguinho! Tem como dar algumas dicas por favor?
Obrigado aos dois
Re: f(x,y) é contínua? Gostaria que avaliassem minha resolução
01 abr 2015, 15:22
Boa tarde,
É sempre bom testar alguns caminhos. Se os limites segundo esses caminhos forem distintos, vemos logo que o limite não existe. Se os limites segundo os caminhos testados forem iguais, apesar de não provar que o limite existe, ficamos com o candidato a limite. Relativamente à majoração, o resultado é o seguinte: Se as funções reais h,f,g verificarem
\(h(\vec{x}) \leq f(\vec{x}) \leq g(\vec{x})\)
numa vizinhança de \(\vec{a} \in \mathbb{R}^n\) e \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} h(\vec{x}) = \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} g(\vec{x}) = b\) então
\(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = b\)
Em particular, como \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}}f(\vec{x}) = b \Leftrightarrow \lim_{\vec{x}\to \vec{a}}| f(\vec{x})-b| = 0\), podemos dizer que se \(|f(\vec{x})-b| \leq g(\vec{x})\) e a função g tender para zero (quando x tende para a ) então o limite de f é b. A ideia é naturalmente que o limite da função g seja de cálculo imediato (sem indeterminação). A forma de obter a majoração costuma tomar diversas formas standard nos exercícios pelo que a prática há-de guiá-lo! No exemplo anterior, como o candidato a limite é zero, fomos majorar
\(|\frac{3x^2 y}{x^2+y^2} - 0|= \frac{3 x^2 |y|}{x^2+y^2} \leq \frac{3(x^2+y^2) |y|}{x^2+y^2} = 3 |y|\)
Ora, como a função 3|y| tende para zero quando (x,y) tende para (0,0), provamos que o limite é de facto zero.
É sempre bom testar alguns caminhos. Se os limites segundo esses caminhos forem distintos, vemos logo que o limite não existe. Se os limites segundo os caminhos testados forem iguais, apesar de não provar que o limite existe, ficamos com o candidato a limite. Relativamente à majoração, o resultado é o seguinte: Se as funções reais h,f,g verificarem
\(h(\vec{x}) \leq f(\vec{x}) \leq g(\vec{x})\)
numa vizinhança de \(\vec{a} \in \mathbb{R}^n\) e \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} h(\vec{x}) = \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} g(\vec{x}) = b\) então
\(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = b\)
Em particular, como \(\lim_{\vec{x}\to \vec{a}}f(\vec{x}) = b \Leftrightarrow \lim_{\vec{x}\to \vec{a}}| f(\vec{x})-b| = 0\), podemos dizer que se \(|f(\vec{x})-b| \leq g(\vec{x})\) e a função g tender para zero (quando x tende para a ) então o limite de f é b. A ideia é naturalmente que o limite da função g seja de cálculo imediato (sem indeterminação). A forma de obter a majoração costuma tomar diversas formas standard nos exercícios pelo que a prática há-de guiá-lo! No exemplo anterior, como o candidato a limite é zero, fomos majorar
\(|\frac{3x^2 y}{x^2+y^2} - 0|= \frac{3 x^2 |y|}{x^2+y^2} \leq \frac{3(x^2+y^2) |y|}{x^2+y^2} = 3 |y|\)
Ora, como a função 3|y| tende para zero quando (x,y) tende para (0,0), provamos que o limite é de facto zero.