Limite de (tg x - x)/(x - sen x)

[danjr5]

(PUC/74) \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}\) é igual a:
a) \(0\)
b) \(2\)
c) \(3\)
d) \(1\)
e) \(4\)

[pedrodaniel10]

Como vai dar indeterminação 0/0, aplicaremos a regra de Cauchy que é derivando o numerador e o denominador:

\(\lim_{x \to 0} \left (\frac{\tan x - x}{x - \sin x} \right )=\lim_{x \to 0} \left (\frac{\sec^2 x - 1}{1 - \cos x} \right )\)

\(\sec^2 x =\tan^2 x +1\)

\(\lim_{x \to 0} \left (\frac{\tan^2 x +1 - 1}{-(\cos x -1) } \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\tan^2 x}{\cos x -1 } \right )\)

\(\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow \tan^2 x =\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\)

\(\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\sin^2 x}{(\cos^2 x)(\cos x -1) } \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\frac{\sin^2 x}{\cos x -1}}{\cos^2 x } \right )\)

Como \(\lim_{x \to 0} \cos^2 x = 1^2=\)\(1\), podemos simplificar a expressão onde dá indeterminação 0/0 e aplicar de novo a regra de Cauchy.

\(\lim_{x \to 0} \left (-\frac{\sin^2 x}{\cos x -1} \right )=\lim_{x \to 0} \left (-\frac{2\sin x \cdot \cos x}{-\sin x} \right )=\lim_{x \to 0} \left (2\cos x \right )=2\)

Resposta B)