limite x → 0 {tg[(3 + x)²] - tg9}/ x

[Sagan]

Eu não estou conseguindo resolver esse limite. A resposta é: 6sec²9

[Sobolev]

Trata-se de uma ind. de 0/0, pelo que pode usar a regra de Cauchy

\(\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3+x)^2 - \tan 9}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{2(x+3)/\cos^2((x+3)^2)}{1}=\frac{6}{cos^2 9} = 6 \sec^2 9\)

[Sagan]

Muito obrigado Sobolev! Mas ainda estou no início do calculo, não posso utilizar a regra de Cauchy para resolver esse limite simplesmente porque ainda não aprendi, acho que a proposta era tentar resolvê-la com as ferramentas que me foram dadas até o momento. Muito obrigado pela atenção, vou tentar resolvê-la na mão.

[Sobolev]

Experimente multiplicar e dividir por \(\tan((3+x)^2) + \tan 9\) e depois usar uma conhecida identidade trigonométrica.

[Sagan]

Eu peguei o exercício novamente para tentar resolver com as suas instruções. Mas ainda assim não consigo, usei a identidade tgx = senx/cosx... depois multipliquei os membros que obtive na conjugação, para ficar com tg^2 e tentar fazer aparecer 1 + tg^2 para substituir por sec^2 como está na resposta... sem sucesso, falhei até agora