Limite trigonométrico: [1 - cos (3x)]/[sen (2x)]

[danjr5]

Tem uma questão que não sei como começar, alguém poderia me dar um dica ou me dizer algum método eficiente para resolver limites trigonométricos?

A questão é:

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - cos (3x)}{\sin (2x)}\)

Tentei de tudo, menos o jeito certo de fazer. :/

Outra dúvida.
Na minha faculdade exige muito ter provar tudo, dai se por acaso eu chegar em um lim x→ senx/x se eu poderia dizer que isso é um ou teria que desenvolver todo o limite trigonométrico fundamental até chegar aquela aquele teorema do confroto 1/cosx > senx/x > cosx ?????

Editado pela última vez por danjr5 em 11 abr 2015, 21:58, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar título e inserir LaTeX

[danjr5]

A meu ver, tal demonstração não se faz necessária!!

Resolução I:

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{\sin 2x} =\)

\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos 3x) \cdot \frac{1}{\sin 2x} =\)

\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos 3x) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin 2x} =\)

\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos 3x) \cdot \lim_{x \to 0} (\sin 2x)^{- 1} =\)

\(\lim_{x \to 0} (1 - \cos 3x) \cdot \lim_{x \to 0} (2x \cdot \frac{\sin 2x}{2x})^{- 1} =\)

\((1 - 1) \cdot (0 \cdot 1)^{- 1} =\)

\(0 \cdot 0 =\)

\(\fbox{0}\)

Resolução II:

Note que, ao efectuar as substituições no limite proposto, teremos a indeterminação \(\frac{0}{0}\). Ora, tal fato permite-nos aplicar a Regra de Cauchy. Ao derivar, temos que:

\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{\sin 2x} =\)

\(\lim_{x \to 0} \frac{- 3 \cdot \sin 3x}{2 \cdot \cos 2x} =\)

\(- \frac{3}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\cos 2x} =\)

\(- \frac{3}{2} \cdot \lim_{x \to 0} 3x \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{1}{\cos 2x} =\)

\(- \frac{3}{2} \cdot 0 \cdot 1 \cdot 1 =\)

\(\fbox{0}\)

A propósito, seja bem-vindo Nepu!!