Propriedade dos limites - limite do quociente
09 mai 2015, 11:45
Bom dia,
Se eu tiver a função \(\large f\left ( x \right )=\frac{e^{x}+3}{e^{x}}\) e quiser verificar a existência de assíntotas não verticais do gráfico de f quando \(x\rightarrow -\infty\) posso fazer da seguinte forma? -
\(\LARGE m=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{e^{x}+3}{e^{x}}}{x} \right )=\frac{\lim_{x\rightarrow -\infty }\: e^{x}+3}{\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{e^{x}}{x} \right )}=\frac{e^{-\infty }+3}{\frac{e^{-\infty }}{-\infty }}=\frac{0+3}{\frac{0^{+}}{-\infty }}=\frac{3}{0^{-}}=-\infty\) e concluir que o gráfico de f não tem A.N.V, porque \(m\: \notin \, \mathbb{R}\) .
Ou devo desenvolver a expressão do limite a ponto de ter de levantar uma indeterminação?
\(\large m=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{e^{x}+3}{e^{x}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{e^{x}+3}{x\, e^{x}} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ \left ( e^{x}+3 \right )\times \frac{1}{x\, e^{x}} \right ]=\lim_{x\rightarrow-\infty }\left ( e^{x}+3 \right )\times \, \lim_{x\rightarrow -\infty }\, \frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( e^{x}+3 \right )\times \left ( -\lim_{-x\rightarrow +\infty }\: \frac{e^{-x}}{-x} \right )=\left ( e^{-\infty }+3 \right )\times \left ( -\infty \right )=3\times \left ( -\infty \right )=-\infty\)
Cheguei à mesma conclusão no final, mas não sei que método é preferível usar em exames. Queria ainda saber, se possível, se a primeira resolução está matematicamente correta e se, de facto, a propriedade do limite do quociente foi usada devidamente.
Alguém tem alguma sugestão ou comentário a fazer?
Agradeço desde já a atenção.
Se eu tiver a função \(\large f\left ( x \right )=\frac{e^{x}+3}{e^{x}}\) e quiser verificar a existência de assíntotas não verticais do gráfico de f quando \(x\rightarrow -\infty\) posso fazer da seguinte forma? -
\(\LARGE m=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{e^{x}+3}{e^{x}}}{x} \right )=\frac{\lim_{x\rightarrow -\infty }\: e^{x}+3}{\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{e^{x}}{x} \right )}=\frac{e^{-\infty }+3}{\frac{e^{-\infty }}{-\infty }}=\frac{0+3}{\frac{0^{+}}{-\infty }}=\frac{3}{0^{-}}=-\infty\) e concluir que o gráfico de f não tem A.N.V, porque \(m\: \notin \, \mathbb{R}\) .
Ou devo desenvolver a expressão do limite a ponto de ter de levantar uma indeterminação?
\(\large m=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{e^{x}+3}{e^{x}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{e^{x}+3}{x\, e^{x}} \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ \left ( e^{x}+3 \right )\times \frac{1}{x\, e^{x}} \right ]=\lim_{x\rightarrow-\infty }\left ( e^{x}+3 \right )\times \, \lim_{x\rightarrow -\infty }\, \frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( e^{x}+3 \right )\times \left ( -\lim_{-x\rightarrow +\infty }\: \frac{e^{-x}}{-x} \right )=\left ( e^{-\infty }+3 \right )\times \left ( -\infty \right )=3\times \left ( -\infty \right )=-\infty\)
Cheguei à mesma conclusão no final, mas não sei que método é preferível usar em exames. Queria ainda saber, se possível, se a primeira resolução está matematicamente correta e se, de facto, a propriedade do limite do quociente foi usada devidamente.
Alguém tem alguma sugestão ou comentário a fazer?
Agradeço desde já a atenção.
Re: Propriedade dos limites - limite do quociente [resolvida]
09 mai 2015, 13:40
As duas resoluções estão corretas. A regra do quociente faz parte do programa bem como a sua utilização, portanto não vejo nenhum motivo para não usar.
Esta matéria dos limites torna-se muito fácil se tiver uma calculadora gráfica. Basta colocar a expressão na calculadora (se souber analisar bem gráficos) sempre se tira uma conclusão em relação à resposta do limite.
Esta matéria dos limites torna-se muito fácil se tiver uma calculadora gráfica. Basta colocar a expressão na calculadora (se souber analisar bem gráficos) sempre se tira uma conclusão em relação à resposta do limite.
Re: Propriedade dos limites - limite do quociente
09 mai 2015, 14:05
Muito obrigada pela sua resposta, cedida tão prontamente. Concordo com o que disse, a calculadora gráfica pode ser deveras útil, contudo confesso que, por vezes, ainda tenho dificuldade a analisar os gráficos reproduzidos, mas tenho confiança que com prática, consiga tirar as conclusões acertadas 
Como tenho de resolver os limites analiticamente não só uso a calculadora para verificar se o resultado está coerente com o meu, como também a uso para verificar se duas expressões são iguais, principalmente durante a resolução de limites que exigem artifícios de cálculo.
Bom fim de semana!
Como tenho de resolver os limites analiticamente não só uso a calculadora para verificar se o resultado está coerente com o meu, como também a uso para verificar se duas expressões são iguais, principalmente durante a resolução de limites que exigem artifícios de cálculo.
Bom fim de semana!