Como solucionar esses limites?

[Nilson]

\(\lim_{x\rightarrow 1} (\frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt{x}-1})\)
\(\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}\)

[Drako Amorim]

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+{}\sqrt[3]{a^{2}}}\)

Logo

cgi-bin/mimetex.cgi?\lim_{x\rightarrow%201}%20(\frac{\sqrt[3]{x}%20-1}{\sqrt{x}-1})

[Nilson]

A partir do "logo" ficou tudo bagunçado.

[Drako Amorim]

1°

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+{}\sqrt[3]{a^{2}}}\)

Logo

\(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1^{2}}}}{\sqrt{x}-1}\)


\(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt[3]{x^{2}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{1}}*(\sqrt{x}-1)}* \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\)

simplificamos e tendemos o x a 1, ficando com (2)/(3³√1)=2/3

2°

\(\lim_{x\rightarrow 8} \frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}*\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}=\frac{\sqrt[3]{x}}{x-8}*\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}\)


\(\lim_{x\rightarrow 8}\frac{\frac{x-8}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{8x}+\sqrt[3]{64}}}{x-8}*\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}\)

Simplificando e tendendo x a 8 obtemos 1/48 como resposta.

[Nilson]

Muito Obrigado!

[Nilson]

Como é feita essa relação entre a^1/3 - b^1/3? E na segunda questão existe um 2*(-2), no entanto não aparece

[Estudioso]

Essa relação é a diferença de dois cubos.

Forma fatorada: x³ - y³ será (x - y) (x² + xy + y²).

[Drako Amorim]

Como é feita essa relação entre a^1/3 - b^1/3? E na segunda questão existe um 2*(-2), no entanto não aparece

1°

\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)

Voce conhece esse produto notável, correto? Como radiciação é o inverso de potência, você pode "tirar a raiz cúbica" dos termos e obter:

\(a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})\)

Efetue a Distributiva dos termos e você achará:

\(a-b=a-b\)

2°

Erro meu, mas os cálculos estão corretos, eu que esqueci o -2, o correto é:

\(\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}*\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2}\)

Obs: Refaça os cálculos aplicando esse produto notável para eliminar as indeterminações ligadas a raiz cúbica.