Resolver lim x→0+ (x^(x.lnx))

[melinaguimaraes]

Boas!

Alguém pode ajudar-me na resolução do seguinte limite? (utilizando a Regra de Cauchy)

\(\lim_{x \to 0^+} x^{x\ln x}\)

[josesousa]

\(x^{xlnx} = e^{ln(x).x.ln(x)}=\)
\(e^{x.ln^2(x)}\)

Pela continuidade da exponencial,

\(\lim_{x \to 0} e^{x.ln^2(x)}=\)
\(e^{\lim_{x \to 0} x.ln^2(x)}\)

E podemos calcular, pela regra de Cauchy (duas vezes)
\(\lim_{x \to 0} x.ln^2(x)=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{ln^2(x)}{1/x}=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2ln(x).(1/x)}{-(1/x)^2}=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2ln(x)}{-(1/x)}=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2/x}{-1/x^2)}=\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{2}{-1/x}=\)
\(\lim_{x \to 0} -2x= 0\)

Logo,
\(\lim_{x \to 0} e^{x.ln^2(x)}=\)
\(e^{\lim_{x \to 0} x.ln^2(x)}=\)
\(e^{0}=1\)

[melinaguimaraes]

Muito obrigada! (:

[josesousa]

De nada! Estamos aqui para ajudar!

Saudações Pitagóricas!