provar um limite utilizando a definição

[Rodrigo]

Por gentileza, alguém pode verificar se a demonstração abaixo está correta?


9) Prove que lim x⁸ = 0.
x->0

Resolução: É preciso encontrar um delta > 0 tal que se 0 < |x - 0| < delta então |x⁸ - 0| < epsilon para um epsilon > 0.
Segue-se que |x⁸ - 0| < epsilon = |x⁸| < epsilon = |x|⁸ < epsilon = |x| < epsilon^1/8 = |x - 0| < epsilon^1/8. (1)
Como, por hipótese, |x - 0| > 0, deve-se considerar (epsilon^1/8) > 0. (2)
Fazendo delta = epsilon^1/8 segue-se que, para delta > 0 e epsilon > 0, 0 < |x - 0| < delta implica |x - 0| < epsilon^1/8. Com efeito: |x - 0| < epsilon^1/8 implica |x| < epsilon^1/8. Retomando (1), decorre: |x| < epsilon^1/8 implica |x|⁸ < epsilon implica |x⁸| < epsilon implica |x⁸ - 0| < epsilon.
Conclui-se, enfim, que dado 0 < delta e delta = epsilon^1/8, se 0 < |x - 0| < delta, então |x⁸ - 0| < epsilon, para epsilon > 0.

[Rui Carpentier]

Por gentileza, alguém pode verificar se a demonstração abaixo está correta?

Sim. Talvez só falte notar que se \(\varepsilon>0\) então \(\delta=\varepsilon^{1/8}>0\).

[Rodrigo]

OK, muito obrigado! Eu tinha ficado em dúvida pelo fato de o expoente do x ser um número par, pois para fazer essa demonstração eu me basei num problema quase idêntido (a única diferença é que o expoente do x era ímpar, 5). Também lhe agradeço pela obs.