Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}xy*\frac{(x-y)}{x^{4}+y^{4}}\)

Posso fazer assim (xy) seria 0 e o limite seria 0 .
Não sei se entendi muito bem, mas nesse caso (x-y)/x^4+y^4) é limitada, não consigo saber entre o que, e assim posso aplicar a regra separação de limites, é isso?
Obrigada

Não por que \(\frac{(x-y)}{x^{4}+y^{4}}\) não é limitada.Vamos tentar provar que não existe limite.

olá.

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}xy*\frac{(x-y)}{x^{4}+y^{4}}\)

vamos verificar por caminhos se o limite existe tome x=0 .

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}0*y*\frac{(0-y)}{0^{4}+y^{4}}=0\)

tomemos y=0:

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x*0*\frac{(x-0)}{x^{4}+0^{4}}=0\)

tomemos y=x²:

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x*x^{2}*\frac{(x-x^{2})}{x^{4}+x^{8}} \\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{(x^{4}-x^{5})}{x^{4}+x^{8}} \\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{1-x}{1+x^{4}}=1\)

como os resultados diferem não existem limite.

O teorema se aplica em limites de funções deste tipo:

\(\\\\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}(x^{2}+y^{2})*sen(x^{2}+y^{2})=0\)

repare que (x²+y²) quando (x,y)->(0,0) o valor vai ser zero, e note que a função seno é limitada em [-1,1],então pelo teorema o valor desse limite é zero.

espero ter ajudado.

att,partilhe dúvidas.

obs:tente usar o latex para digitar as equações.

Muito obrigada. Entendi o porquê do limite não existir. Só tinha tentado (x,0) (0,Y). :D ah, você arrumou rs Obrigada de novo.