Limites laterais

[Leonardo]

sejam f uma função definida num intervalo aberto I e p \(\epsilon\) I. suponha que \(f(x)\leq f(p)\)

para todo x \(\epsilon\) I. Prove que \(\lim_{x->p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0\) desde que o limite exista.

[João P. Ferreira]

Repare caro Leonardo que o limite que apresenta é não mais que a derivada de f no ponto p

Ou seja, pela definição

\(\lim_{x \to p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}=f'(p)\)

Considerando que a função é contínua e diferenciável em \(I\) e que \(f(x)\leq f(p) \forall {x,p \in I}\)
\(p\) só pode ser um ponto máximo

Ora, nas funções contínuas e diferenciáveis, os extremos (onde os máximos se incluem) têm derivada igual a zero

Saudações

PS: Não sei se esta é a forma mais formal e correta de demonstração, mas pareceu-me intuitiva. Abraços