Sequências infinitas / subsequências

[Anne Cristina Vieira]

Boa noite, preciso muito da ajuda de vocês em uma questão.

Suponha que (Xn) converge para 1/3 e que (Yn) converge para 2/3. Prove que (Xn+Yn) converge para 1.
Estou com muitas dificuldades nesta.

abraços e obrigada
Anne

[Fraol]

Boa noite,

Vamos lá, simplificadamente você poderia encaminhar assim:

\((x_n) \rightarrow \frac{1}{3} , \exists n>n_1 , \left | x_n - \frac{1}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\)

\((y_n) \rightarrow \frac{2}{3} , \exists n>n_2 , \left | y_n - \frac{2}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\)

Agora faça \(n_0\) igual ao maior valor entre \(n_1\) e \(n_2\).

Então para \(n > n_0\), \(\left | x_n - \frac{1}{3} + y_n - \frac{2}{3} \right | < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}, \epsilon > 0.\).

Ou seja: \(\left | x_n + y_n - 1 \right | < \epsilon, \epsilon > 0.\) e isto comprova que o limite da soma é realmente 1, ou seja a soma dos limites.