Função contínua

[Leandro_mb]

Encontre o valor de a para o qual a funcão abaixo

\(F(X)= exp(x^2cos(1/x)-2)\), x diferente de 0
\(f(X)= a,\) se x = 0


é continua em x = 0:

[Man Utd]

Olá

a condição para ser continua é: \(\lim_{x \rightarrow p} f(x)=f(p)\)


então devemos resolver :

\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}\)

então:

\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}=L\) , em que \(L\) é o valor do limite.


aplique logaritmo natural aos dois lados:


\(\lim_{x \rightarrow 0} ln(e)^{x^2*cos(\frac{1}{x})-2}=ln(L)\)


\(\lim_{x \rightarrow 0} (x^2*cos(\frac{1}{x})-2)*ln(e)=ln(L)\)


\(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})-2=ln(L)\)


\(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})-\lim_{x \rightarrow 0} 2=ln(L)\)


no limite \(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})\),vamos utilizar o teorema do confronto perceba que a função cosseno é limitada em \(\left [ -1,1 \right ]\) :


\(-1 \leq cos(\frac{1}{x}) \leq 1\) , multiplicadando por \(x^2\) a desigualdade,não vamos alterar já que é sempre positivo:


\(-x^2 \leq x^2*cos (\frac{1}{x})\leq x^2\)

como o limite de \(-x^2\) e \(x^2\) quando \(x \rightarrow 0\) é zero, então temos que pelo teorema do confronto que: \(\lim_{x \rightarrow 0} x^2*cos(\frac{1}{x})=0\) .


então ficaremos com:

\(-2=ln(L)\)

\(L=e^{-2}\)

\(L=\frac{1}{e^2}\).


Com isso temos que para a função ser contínua devemos ter \(a=\frac{1}{e^2}\)


att.qualquer coisa é só falar.