Fórum de Matemática
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Boa tarde. Não consigo resolver este limite:
\(\lim_{x \to 0}\frac{ln(1-x^2)}{x}\)
R:0

(Não posso aplicar a regra de L'Hôpital)

\(\frac{ln(1-x^2)}{x}=\frac{[ln(1-x)(1+x)]}{x}=\frac{ln(1+x)}{x}+\frac{ln(1-x)}{x}\)

y = 1+x; se x->0 entao y->1
z = 1-x; se x->0 entao z->1

\(\frac{ln(y)}{y-1}-\frac{ln(z)}{z-1}\)

\(\lim_{y \to 1}\frac{ln(y)}{y-1}- \lim_{z \to 1}\frac{ln(z)}{z-1}\)

esse é o quarto limite notavel dessa lista: http://www.infopedia.pt/$limite-notavel ... PmA0cF6w__

o resultado desse limite é 1, portanto ficara 1-1=0

Se puder utilizar o polinómio de Taylor, basta notar que

\(\log (1-x^2) = -x^2-\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{3}-\frac{x^8}{4} - \cdots\)

pelo que, para valores de x próximos de zero a função se comporta como \(-x^2\), pelo que o valor do limite proposto é realmente zero.