Calcular o limite de uma função

[fff]

Boa tarde. Não consigo resolver este limite:
\(\lim_{x \to -1}\frac{e^x-e^{2x+1}}{x+1}\)
Resposta:\(-\frac{1}{e}\)
(Não posso aplicar a regra de L'Hôpital)

[João P. Ferreira]

\(\lim_{x \to -1}\frac{e^x-e^{2x+1}}{x+1}=\frac{e^{-1}-e^{-1}}{-1+1}=\frac{0}{0}\)

aplicando a regra de Cauchy

\(\lim_{x \to -1}\frac{e^x-e^{2x+1}}{x+1}=\lim_{x \to -1}\frac{(e^x-e^{2x+1})'}{(x+1)'}=\lim_{x \to -1}e^x-2e^{2x+1}=e^{-1}-2e^{-1}=-1/e\)

[flaviosouza37]

\(\lim_{x \to -1}\frac{e^x-e^{2x+1}}{x+1}= \lim_{x \to -1}\frac{e^x-e^x.e^{x+1}}{x+1}=\lim_{x \to -1}\frac{e^x(1-e^{x+1}}{x+1})\)

chamando y=x+1 quando x->-1 entao y->0


\(\lim_{y \to 0}\frac{e^{y-1}(1-e^y)}{y}=\lim_{y \to 0}e^{y-1}.\frac{(1-e^y)}{y}=\lim_{y \to 0}e^{y-1}.\frac{-(e^y-1)}{y}=\lim_{y \to 0}e^{y-1}.\lim_{y\to 0}\frac{-(e^y-1)}{y}\)

sabemos que \(\lim_{y\to 0}\frac{e^{by}-1}{by}=1\) com b diferente de zero, no nosso caso b=1.
portanto

\(\lim_{y \to 0}e^{y-1}=\frac{1}{e}\)
\(\lim_{y\to 0}\frac{-(e^y-1)}{y}=-1\)

-1.(1/e)=(-1/e)

[João P. Ferreira]

Caro flaviosouza37

Muito obrigados

reparei agora que o consulente referiu que não podia aplicar a regra de L'Hôpital

Um grande abraço e saudações pitagóricas