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Boa tarde, galera. Este limite cai em uma indeterminação. Tentei quebrar essa indeterminação por produto notável, que só que deu uma equação enorme e no final não cheguei no resultado certo. Estou seguindo o caminho certo e errei em algum cálculo?

\(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x - 1)^{5}}{x ^{5 - 1}}\)

Gabarito: 0

\(\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x - 1)^{5}}{x ^{5 - 1}}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x - 1)^{5}}{x ^6}=\frac{0^5}{1^6}=0\)

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João Pimentel Ferreira
 
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como foi o produto notavel?

olha a equação do denominador, é \(x^5-1\) correto? 1 é raiz dessa equação, divida essa equação por (x-1) e o resultado sera \(x^4+x^3+x^2+x+1\)

ou seja \(x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\)

volte na equação dada com essa fatoração:

\(\lim_{x \to \1}\frac{(x-1)^5}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}=\lim_{x \to \1}\frac{(x-1)^4}{(x^4+x^3+x^2+x+1)}=\lim_{x \to \1}\frac{0}{5}=0\)

Cara, eu entendi perfeitamente sua linha raciocínio, só que o resultado dessa divisão dá como resto 1. Isso não tem problema não? Eu entendo que se x - 1 fosse uma raiz de x^5 - 1, o resto seria zero.

Muito obrigado pela resposta.

O resto é zero, refaça as contas.Uma maneira fácil de provar que o resto da divisão de \(x^{5}-1\) por \(x-1\) é zero, é pelo teorema de D' Alembert :

\(P(x)=x^5-1\)

\(P(1)=1^{5}-1\)

\(P(1)=0\)

É verdade. Desculpe pela falta de atenção cara. Muito obrigado pela resposta.