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Nao consigo provar a continuidade em x=0

Definição rápida e básica de função continua: Funções contínuas são aquelas em que a função não sofre pausa (ou quebra) no gráfico. Como mostra as imagens a seguir.

Substitua o valor de x por um valor diferente de 0, e verás que a função é continua.
Corrija-me se estiver errado.

Não é preciso fazer os limites laterais em x=0?

O correto é msm usar os limites laterais, Pois o exercício pede a definição de continuidade em um ponto ,como sabemos temos que usar : \(\lim_{x \to a^{+}} \; f(x)=\lim_{x \to a^{-}} \; f(x)=f(a)\)

então :

\(f(0)=-1\)

e

\(\lim_{x \to 0^{+}} \; \frac{x^3-x}{x} \; = \; \lim_{x \to 0^{+}} \; \frac{x(x^2-1)}{x} \; = \; \lim_{x \to 0^{+}} \; x^2-1=-1\)


\(\lim_{x \to 0^{-}} \; \frac{x^3-x}{x} \; = \; \lim_{x \to 0^{-}} \; \frac{x(x^2-1)}{x} \; = \; \lim_{x \to 0^{-}} \; x^2-1=-1\)


Segue, então que a função é continua no ponto \(x=0\)