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Boa tarde. Tenho dúvidas neste exercício:
3.4a - k=-2, o limite é 4
3.4b - k=-5

\(\lim_{x\to 1}{\frac{k}{x-1}+\frac{2x^2}{x-1}}=\lim_{x\to 1}{\frac{2x^2+k}{x-1}\)

o limite só dá um número real quando há um fator no denominador que corta com \((x-1)\), caso contrário dará \(a/0\) que é infinito.

Ou seja, tem de descobrir o valor de \(k\), de forma a que o polinómio do segundo grau \(2x^2+k\) tenha \(x=1\) como raiz

\(2(1)^2+k=0\)

\(2+k=0\)

\(k=-2\)

repare para confirmar que quando \(k=-2\) ficamos com \(2x^2-2=2(x^2-1)=2(x+1)(x-1)\)

e o limite fica

\(\lim_{x\to 1}{\frac{2x^2+k}{x-1}=\lim_{x\to 1}{\frac{2(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}2(x+1)=4\)

espero ter ajudado

boas contribuições

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João Pimentel Ferreira
 
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Em relação à alínea b, eu pensei assim:
Para y=2x-3 ser assíntota do gráfico da função h, o\(\lim_{x \mapsto +\infty }[h(x)-(2x-3)]=0\).
Vi num site um exercício parecido e fiz da mesma maneira:
\(\lim_{x \to +\infty }(\frac{xk+2x^2}{x-1}-(2x-3))=\lim_{x \to +\infty }\frac{xk+2x^2-2x^2+3x+2x-3}{x-1}=\lim_{x \to +\infty }\frac{xk+5x-3}{x-1}=\lim_{x \to +\infty }\frac{x(k+5)-3}{x-1}\)

k+5=0
k=-5