limites

[Kapizany]

Supondo \(f:(-b,b)\)→ \(\mathbb{R}\,\) , b>0, uma função par, verifique que lim (x→0+) f(x)= L se e somente se lim (x→0-) f(x)= L. Como você formularia uma propriedade análoga para funções ímpares?
Alguém pode me ajudar com essa demonstração?

[santhiago]

Na Minha humilde opinião , acho que devemos utilizar a definição formal de limite ,neste caso limites laterais.

Dizer que \(\lim_{x \to 0^+} f(x) =L\) é equivalente dizer que

\(\forall \epsilon > 0 , \exists \delta(\epsilon) > 0\) tal que se

\(\delta > x > 0\) então \(|f(x) - L | < \epsilon\) .

Desta forma \(\delta > -x > 0 \rightarrow |f(-x) - L | < \epsilon\) e assim

\(-\delta < x < 0 \rightarrow |f(-x) - L | < \epsilon\) . Usando o fato que f é par , obtemos

\(-\delta < x < 0 \rightarrow |f(x) - L | < \epsilon\) o que é equivalente dizer que \(\lim_{x\to 0^-} f(x) = L\) .

A primeira parte da demostração está concluída . Tente concluir a recíproca . Espero que ajude .

[Kapizany]

Obrigado ajudou bastante!