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Como faço para calcular o limite quando x tende ao infinito de \(\frac{5^{x}- 3^{x}}{x}\) ?

\(x \to +\infty\) ou \(x\to -\infty\) ?

\(\lim_{x\to -\infty}\frac{5^x-3^x}{x} = \frac{0}{\infty} = 0\)

\(\lim_{x\to +\infty} \frac{5^x-3^x}{x} =\lim_{x\to +\infty}\frac{5^x(1-(3/5)^x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{5^x}{x} \cdot \lim_{x\to +\infty}(1-(3/5)^x) = \lim_{x\to +\infty}\frac{5^x}{x} = +\infty\)

Obs: A última igualdade pode ser obtida com o conhecimento dos limites "notáveis" ou simplesmente aplicando a regra de Cauchy.

Obrigado! E como eu faria se o x tendendo para 0?

Nesse caso obtem uma indeterminação de 0/0 e pode aplicar a regrade Cauchy:

\(\lim_{x \to 0}\frac{5^x-3^x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(5^x-3^x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0}\frac{(\log 5) \cdot 5^x-(\log 3) \cdot 3^x}{1}=\log 5 - \log 3 = \log\frac 53\)