Fórum de Matemática
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Olá, alguém poderia me ensinar a resolver este exercício ?
\(\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{ax} - e^{bx}}{sen ax- sen bx}\)

Olá :D


Usando a Fórmula de Prostaférese \(sen(ax)-sen(bx)=2sen( \frac{ x(a-b) }{2})*cos\left(\frac{ x(a+b) }{2} )\)


então :


\(\LARGE \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ 2sen( \frac{ x(a-b) }{2})*cos\left(\frac{ x(a+b) }{2} )}\)





\(\LARGE \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ \frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ \frac{x(a-b)}{2}}}{ \frac{2sen( \frac{ x(a-b) }{2})*cos\left(\frac{ x(a+b) }{2} )}{\frac{x(a-b)}{2} }\)





\(\LARGE \frac{ \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ \frac{x(a-b)}{2}}}{ \lim_{ x \to 0 } \; \frac{2sen( \frac{ x(a-b) }{2})*cos\left(\frac{ x(a+b) }{2} )}{\frac{x(a-b)}{2} }\)






\(\LARGE \frac{ \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ \frac{x(a-b)}{2}}}{ 2 }\)





\(\LARGE \frac{ \lim_{ x \to 0 } \; \frac{2}{a-b}*\frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ x} }{ 2 }\)




\(\LARGE \frac{1}{a-b} \times \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-e^{bx} }{ x}\)




\(\LARGE \frac{1}{a-b} \times \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-e^{bx}+1-1 }{ x}\)



\(\LARGE \frac{1}{a-b} \times \lim_{ x \to 0 } \; \frac{ e^{ax}-1 }{ x}- \frac{ e^{bx}-1 }{ x}\)


\(\LARGE \frac{1}{a-b} \times a-b =\fbox{ \fbox{\fbox{ 1 }}}\)

quando \(x\rightarrow 0\), tanto o numerador como o denominador tendem para zero. Podemos então aplicar a Regra de L`hospital, segundo a qual \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}\). Então

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{sen(ax)-sen(bx)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ae^{ax}-be^{bx}}{acos(ax)-bcos(bx)}=\frac{a-b}{a-b}=1\)

Proposta 3 :

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} -e^{bx}}{sin(ax) - sin(bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{ \dfrac{(e^a)^x - 1}{x} - \dfrac{(e^b)^x - 1}{x} }{a \cdot \dfrac{sin(ax) }{ax} - b \cdot \dfrac{sin(bx) }{bx}}\) . Usando os limites fundamentais , temos que o limite da expressão do numerador e do denominador existem , sendo ambos iguais a \(a-b\) e assim pela regra do quotiente o limite requerido vale 1.