Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Prove que existe \(\delta > 0\) tal que

\(1-\delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/ 3\)


Solução :

Como \(\lim_{x\to 1} x^2 + x = 1\),fixado \(\epsilon = 1/3\) ,

Tomando-se \(\delta = \epsilon\) ,


\(1-\delta < x < 1 + \delta \Rightarrow 2 - 1/3 < x^2 + x < 2 + 1/ 3\)

Estar certo ?

Não, não está de todo certo pois não é garantido que se possa tomar \(\delta=\epsilon\) (de facto se fizermos \(x=1+\frac{1}{4}<1+\frac{1}{3}\) temos que \(x^2+x=2+\frac{13}{16}>2+\frac{1}{3}\)).

O melhor a fazer é tentar majorar \(|x^2+x-2|\) em função de \(|x-1|\):

\(|x^2+x-2|=|(x-1)(x+2)|=|x-1|\cdot|x-1+3|\leq |x-1|\cdot(|x-1|+3)\)

Se fizermos \(\delta \to 0^+\) então \(\delta (\delta +3)\to 0\), logo existe \(\delta >0\) suficientemente pequeno tal que \(\delta (\delta +3)<\frac{1}{3}\).
Concluimos então que existe \(\delta >0\) tal que \(|x-1|<\delta \Rightarrow |x^2+x-2|<\delta (\delta +3)<\frac{1}{3}\).

Muito obrigado pela atenção .