Continuidade de uma função definida por troços

[zelly_lohla]

Problema:
Considere a função f, de domínio IR, definida por

\(f(x)\left \{ \frac{x^{2}+2x}{x^{3}+x^{2}}\)
se x < 0

\(f(0)= 2\)
se x = 0

\(f(x)= \left \{\frac{3x^{2}-x\ln (x+1)}{x^{3}}\)
se x > 0

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em x = 0.

--> A solução diz que é contínua em x= 0 mas sempre que eu resolvo os limites, mostra sempre que é descontínua.

[João P. Ferreira]

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Uma função é contínua num ponto se o limite à esquerda é igual ao limite à direita e é igual ao valor do ponto.

Ou seja, \(f(x)\) é contínua no ponto \(a\) sse

\(\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)\)

ou seja, no seu caso, o ponto a "investigar" é o ponto \(x=0\)

\(\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\)

para ser contínua é necessário verificar as seguintes igualdades:

\(\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2x}{x^3+x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{3x^2-x\ln(x+1)}{x^3}=2\)

consegue avançar???
partilhe dúvidas/resultados....

saudações pitagóricas

[zelly_lohla]

Eu tentei avançar. O problema é que me dá descontínua

[João P. Ferreira]

\(\lim_{x\to 0}\frac{x^2+2x}{x^3+x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x(x+2)}{x^2(x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{x+2}{x(x+1)}=\frac{2}{0.1}=\infty\)

logo tem razão, é descontínua (ou então passou mal o enunciado)

[zelly_lohla]

já descobri como me dá 2 a do \(x\rightarrow 0^{^{-}}\)
mas não consigo a do \(ln\)
porque nunca sei como os simplificar e então dá-me \(\infty\) no final

:/

E o enunciado estava correcto.

[João P. Ferreira]

A do \(\ln\) pode dividir por \(x\)

repare que:

\(\frac{3x^{2}-x\ln(x+1)}{x^{3}}=\frac{3x-\ln(x+1)}{x^{2}}=\frac{1}{x}\frac{3x-\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{x}\left(3-\frac{ln(x+1)}{x} \right)\)

considerando os limites notáveis dá \(1/0.(3-1)=\infty\)