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| Limite de função com raízes cúbicas no numerador e denominador https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=10210 |
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| Autor: | jd.joaodaniel [ 02 jan 2016, 04:49 ] |
| Título da Pergunta: | Limite de função com raízes cúbicas no numerador e denominador |
Calcular o limite da seguinte função, caso exista: \(lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{1+\sqrt[3]{3x-1}}\) Já tentei fazer por mudança de variável, mas não consegui... E também creio não ser o caso de multiplicar pelo conjugado. SEM regra de L'Hospital (caso ela seja aplicável aqui) , pois ainda não sei derivar. |
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| Autor: | Davi Constant [ 02 jan 2016, 15:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Limite de função com raízes cúbicas no numerador e denominador [resolvida] |
Bom, vamos lá... devemos lembrar que: \(a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\) \(a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)\) Vamos usar essas relações para obter um resultado semelhante ao que fazemos com conjugados em raízes quadradas... 1°) termo \(1-\sqrt[3]{1-x}\) Usaremos \(a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)\) \(1-\sqrt[3]{1-x}\cdot\frac{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}=\frac{1-(1-x)}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}=\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}\) 2°) termo \(1+\sqrt[3]{3x-1}\) Usaremos \(a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\) \(\frac{1}{1+\sqrt[3]{3x-1}}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}=\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{1+(3x-1)}=\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3x}\) Unindo esses dois resultados ao limite, obteremos: \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{1-x}}{1+\sqrt[3]{3x-1}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}\cdot\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{(3x-1)^2}}{3(1+\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2})}=\frac{1-(-1)+1}{3(1+1+1)}=\frac{1}{3}\) Espero ter ajudado, qualquer dúvida sinalize. |
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