Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Estou procurando pela resolução de uma questão do livro 2º, sobre logaritmos, da coleção de 11 volumes do Iezzy. Trata-se da questão de B.39, como se vê na imagem em anexo. Alguém poderia me ajudar, por favor?

Vejam bem, não se trata apenas da resposta, ou seja, do valor do x, pois isso consta do gabarito do livro. O que estou tentando descobrir é a resolução desse problema.

Grande abraço!
Att,

É só questão de observar que \(x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}=\sqrt{2+x}\). Logo
\(x^2 = 2+x\) (x^2=2+x). Agora é só resolver a equação quadrática e escolher a raíz positiva (deve dar 2).

Outra maneira de resolver (talvez mais rigorosa) é usar sucessões por recorrência. O que queremos encontrar é o limite da sucessão \((x_n)\) definida por \(x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\) e \(x_0=0\). Então,
\(x=\lim x_n=\lim x_{n+1}=\lim \sqrt{2+x_n}=\sqrt{2+\lim x_n}=\sqrt{2+x}\). Agora é resolver como em cima.

Caramba, essa questão dá um nó no meu cérebro!

Ainda nao entendi muito bem, mas com certeza agora tenho uma direção na qual posso desenvolver o raciocínio. Fico-lhe muito agradecido, Rui.

Abraço