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Limite - O que fazer nesse caso? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=10422 |
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Autor: | Estudioso [ 13 fev 2016, 14:23 ] |
Título da Pergunta: | Limite - O que fazer nesse caso? |
Resolva o limite \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+tg\,x}{x-tg\,x}\) Como resolvo este limite por favor? Obrigado |
Autor: | Fraol [ 13 fev 2016, 17:04 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Oi, você pode usar a regra de L'Hopital ? |
Autor: | Estudioso [ 13 fev 2016, 20:22 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Gostaria, se possível, que não fosse pela Regra de L'Hopital. Obrigado |
Autor: | Fraol [ 14 fev 2016, 16:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Boa tarde, Estudioso Escreveu: Gostaria, se possível, que não fosse pela Regra de L'Hopital Hummm ... sem L'Hopital. Eu tentei agora há pouco duas coisas: a primeira tentativa foi colocar o x em evidência no numerador e no denominador e, a segunda, multiplicar ambos pelo conjugado do denominador e fiquei tal como cachorro correndo atrás do rabo, volta e meia ia para a indeterminação \(\frac{0}{0}\). Pode ser que outro colega tenha um solução para isso. Outra forma de pensar pode ser a seguinte: Separamos o limite em dois: \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+tg\,x}{x-tg\,x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x-tg\,x} + \lim_{x\rightarrow 0}\frac{tg\,x}{x-tg\,x}\) Inicialmente vamos analisar as 3 funções \(x, tg(x)\) e \(x-tg(x)\) isoladamente: Para \(x < 0: tg(x)<0; x-tg(x)>0\) então o quociente da expressão do primeiro limite é negativo. Para \(x > 0: tg(x)>0; x-tg(x)<0\) então o quociente da expressão do segundo limite é negativo, também. (editado para simplificar a análise que estava um pouco confusa antes) Comparemos \(x\) e \(x-tg(x)\): Como \(x\) vai para 0 mais lentamente do que \(x - tg(x)\), então o quociente \(\frac{x}{x-tg(x)}\) vai para \(- \infty\) mais rapidamente. Comparemos \(tg(x)\) e \(x-tg(x)\): Como \(tg(x)\) vai para 0 mais lentamente do que \(x-tg(x)\), então o quociente \(\frac{tg(x)}{x-tg(x)}\) vai para \(- \infty\) mais rapidamente. Somando os limites obtemos \(- \infty\). |
Autor: | Sobolev [ 15 fev 2016, 10:57 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
E pode usar limites notáveis? Se considerar como verdadeiro que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) pode fazer o seguinte: \(\lim_{x \to 0}\frac{x+\tan x}{x-\tan x} =\lim_{x \to 0} \frac{x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x+ \sin x}{x \cos x - \sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x + \frac{\sin x}{x}}{\cos x- \frac{\sin x}{x}} = \frac{2}{0^{-}} = -\infty\) |
Autor: | Estudioso [ 15 fev 2016, 14:00 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Sobolev, até aqui entendi: \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos\,x+\frac{sen\,x}{x}}{cos\,x-\frac{sen\,x}{x}}\) A resposta não seria \(\frac{2}{0}\)? Obrigado |
Autor: | Sobolev [ 15 fev 2016, 14:47 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Boa tarde Estudioso, A função \(\cos x - \frac{\sin x}{x}\) tende para zero quando \(x \to 0\), mas sempre por valores negativos, daí assinalar \(0^{-}\). Assim podemos dizer quer o limite em causa é \(- \infty\) e não apenas \(\infty\) sem sinal. |
Autor: | Estudioso [ 15 fev 2016, 18:28 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Sobolev, por que devo analisar somente para valores a esquerda de zero no denominador? |
Autor: | Fraol [ 15 fev 2016, 18:38 ] |
Título da Pergunta: | Re: Limite - O que fazer nesse caso? |
Oi Estudioso, (editado para tentar melhorar a resposta). Citar: por que devo analisar somente para valores a esquerda de zero no denominador? Não é só para valores à esquerda. Nas imediações de \(x=0\), à direita ou à esquerda, o coseno é menor do que \(1\), então a expressão \(cos(x) - \frac{sen(x)}{x} = cos(x) - 1\) dá sempre negativo. |
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