Continuidade de limites pela definição.

[GustavoFerreira]

Seja f uma função definida para \(x \in \mathbb{R}\), com \(f(1)=2\) e tal que, para todo x, \(|f(x)-2|<\frac{|x-1|^2}{4}\). Use a definição de limite para provar que f é continua em x=1.

[Sobolev]

Seja \((x_n)\) uma qualquer sucessão de números reais tal que \(\lim x_n = 1\). Usando a definição de limite segundo Heine, basta provar que \(\lim f(x_n) = 2\), ou de modo equivalente que \(\lim(f(x_n)-2)= 0\). Ora,

\(|\lim(f(x_n)-2)| = \lim|f(x_n)-2| \leq \lim \frac{(x_n - 1)^2}{4} = \frac{(1-1)^2}{4} = 0\).

Se pretender usar a definição de limite segundo Cauchy (\(\varepsilon - \delta\)) o processo é diferente, mas as duas noções de limite são equivalentes.