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| Limite interessante https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=1085 |
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| Autor: | luisaM [ 24 nov 2012, 23:08 ] |
| Título da Pergunta: | Limite interessante |
Calcular o seguinte limite \(\lim\frac{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2}-\frac{n}{3}\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2012, 16:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Olá Repara que \(\frac{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}{n^{2}}-\frac{n}{3}=\frac{\sum_{i=1}^{n} i^2}{n^{2}}-\frac{n}{3}=\frac{3\sum_{i=1}^{n} i^2 -n^3}{3n^{2}}\) lembra-te que http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... +n+i%5E%32 \(\sum_{i=1}^{n} i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) assim ficas com \(\frac{1/2 n(n+1)(2n+1) -n^3}{3n^{2}}\) agora ficas com um polinómio em cima e em baixo, que tem fácil resolução |
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| Autor: | luisaM [ 26 nov 2012, 22:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Muito Obrigada, quem me dera algum dia conseguir saber assim tanto, isto ajudou-me mesmo muito. Muito Obrigada mais uma vez. |
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| Autor: | nfsilva81 [ 28 nov 2012, 12:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 28 nov 2012, 17:40 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
nfsilva81 Escreveu: Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar JoanaM, queres ajudar por favor aqui o caro amigo? |
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| Autor: | luisaM [ 28 nov 2012, 18:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
João P. Ferreira Escreveu: nfsilva81 Escreveu: Não cheguei à resolução do limite dos polinomios é possivel ajudar JoanaM, queres ajudar por favor aqui o caro amigo? sim, posso ajudar sim a Resolução: lim┬(n→+∞)〖(n(n+1)(2n+1))/(6/n^2 )〗-n/3= lim┬(n→+∞) (n(n+1)(2n+1)-2n^3)/(6n^2 )= lim┬(n→+∞) ((2n^3+n^2+2n^2+n)-2n^3)/(6n^2 ) = lim┬(n→+∞) (3n^2+n)/(6n^2 )→ 1/2 |
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| Autor: | nfsilva81 [ 28 nov 2012, 21:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Obrigado a ambos. |
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| Autor: | luisaM [ 28 nov 2012, 22:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
nfsilva81 Escreveu: Obrigado a ambos. Sabes resolver a pergunta 6 da natureza das séries? A) \(\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{log(n)}{n^{2}})\) B) \(\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{2^{n}+3^{n}}{n^{2}+log(n)+5^{n}})\) C) \(\sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{(-1)^{n}}{log(n)+(-1)^{n}})\) Será que a A) e B) sao convergentes e a C) é simplesmente convergente? Como posso demonstrar? Obrigada. a última para mim é a mais difícil por causa do (-1)no denominador que me está a virar a cabeça ao contrário ....penso que por isso já não é divergente e que será apenas simplesmente convergente! as 2 primeiras acho que são ambas convergentes, mas não tenho bem a certeza... Grata pela atenção. Será que me pode ajudar? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 29 nov 2012, 16:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Joana Tenta usar LaTex para as expressões, não é difícil, tens em cima um botão "Editor de Equações" Ora \(\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{log(n)+(-1)^{n}}\right)\) é só aplicares o critério de Leibniz Neste caso \(a_n=\frac{1}{log(n)+(-1)^{n}}\) assim, basta achares \(\lim a_n = \lim \frac{1}{log(n)+(-1)^{n}} = \frac{1}{\infty+\lim (-1)^n}\) como \((-1)^n\) dá 1 ou -1 o limite em apreço é zero, logo a série é convergente |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 29 nov 2012, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Por favor ajudem-me a calcular este limite: |
Esqueci-me de ver tens ainda que confirmar que \(|a_n|\) é uma sucessão monótona decrescente, ou seja \(|a_{n+1}|\leq |a_n|\) se conseguires demonstrar que a partir de determinado \(n>k\) a expressão \(|a_{n+1}|\leq |a_n|\) se verifica também podes concluir que a série é convergente |
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