Vc faz-me pensar
Vamos então resolver a sucessão definida por recursividade
\(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\)
Ora então vejamos
\(x_1=2 \ \ \ x_2=\sqrt[4]{2+(2)^2} \approx 1,56 \ \ \ x_3=\sqrt[4]{2+(\sqrt[4]{6})^2} \approx 1,45\)
Parece então que a sucessão é monótona decrescente
Vamos provar ainda por indução matemática que a sucessão é maior que zero ou seja \(x_n>0\)
A Base é \(x_1=2>0\)
O passo é provar agora que se é válido para \(x_n\) também é válido para \(x_{n+1}\)
Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e como se considera que \(x_n>0\) prova-se facilmente que \(x_{n+1}>0\), logo prova-se assim por indução que \(x_n>0\) para todo o n.
Vamos provar agora que a sucessão é decrescente
\(x_{n+1}-x_n<0\)
\(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}-x_n<0\)
\(\sqrt[4]{2+(x_n)^2}<x_n\)
Como \(x_n>0\) elevamos à quarta dos dois lados e o sinal da inequação não troca
\(2+(x_n)^2<(x_n)^4\)
\((x_n)^4-(x_n)^2-2>0\)
Façamos uma substituição
\((x_n)^2=y_n\)
\((y_n)^2-y_n-2>0\)
Achamos os zeros pela fórmula resolvente
\((y_n-2)(y_n+1)>0\)
substituindo novamente
\(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\)
Temos um produto de duas sucessões sendo que é fácil ver que \(((x_n)^2+1)>0\)
Temos de provar agora que \(((x_n)^2-2)>0\)
Vamos provar então por indução matemática que \((x_n)^2>2\)
A base é \((x_1)^2=4>2\)
O passo é se \((x_n)^2>2\) então \((x_{n+1})^2>2\)
Como \(x_{n+1}=\sqrt[4]{2+(x_n)^2}\) e considerando que \((x_n)^2>2\) é fácil ver que \((x_{n+1})^2=\sqrt{2+(x_n)^2}=\sqrt{a}\) em que \(a>4\). Logo verificamos fácilmente que \((x_{n+1})^2=\sqrt{a}>2\)
Logo provamos finalmente que \(((x_n)^2-2)((x_n)^2+1)>0\) pois é o produto de duas sucessões maiores que zero, e consequentemente provamos que a sucessão é decrescente.
Se a sucessão é monótona (decrescente) e limitada (entre 0 e 2), é convergete
Volte sempre