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lim,x->0,y->0, (x^2+y^2)*sin(1/(sqrt(x^2+y^2)))
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Autor:  nf17 [ 28 dez 2011, 22:38 ]
Título da Pergunta:  lim,x->0,y->0, (x^2+y^2)*sin(1/(sqrt(x^2+y^2)))
Olá, vai ser o meu primeiro tópico neste fórum.

Tenho andado a estudar e surgiu esta dúvida. Como não estava a encontrar solução satisfatória em lado nenhum para o meu problema, pensei que vocês me pudessem ajudar.

O enunciado é o seguinte:

Citar:
Mostrar, a partir da definição, que

\(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} (x^2+y^2) sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\right) = 0\)


A minha resolução começou por ser esta, no entanto estou bloqueado a meio do processo e não sei como passar daí.

\(\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\left|\right|(x,y)\:-\:(0,0)\left| \right|<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta\)

\(\forall\:\delta>0\:\exists\varepsilon>0:0<\sqrt[]{x^2+y^2}<\varepsilon\Rightarrow\left|(x^2+y^2)sin\left(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}} \right)\right|<\delta\)

A partir daqui já não consigo fazer mais porque não sei como resolver tendo um seno na função.
Autor:  João P. Ferreira [ 29 dez 2011, 00:08 ]
Título da Pergunta:  Re: Definição de limites em R2
Meu caro, bem-vindo ao fórum

Terá que desenvolver esta inequação:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|<\delta\)

Repare que:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|=\left|(x^2+y^2)\right|\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|=(x^2+y^2)\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\)

Como \(0\leq\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\leq 1\) podemos simplificar:

\((x^2+y^2)\left|sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}})\right|\leq (x^2+y^2)\)

Então sabemos que:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|\leq (x^2+y^2)\)

Logo:

\(\left|(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt[]{x^2+y^2}})\right|<\delta\) desde que \((x^2+y^2)<\delta\)

Como \(\sqrt{x^2+y^2}<\epsilon\) basta esolher \(\epsilon=\sqrt{\delta}\)

Assim,

\(\lim_{x\to0\\y\to0}f(x,y)=0\)

Volta sempre meu caro

Cumprimentos
Autor:  nf17 [ 29 dez 2011, 00:38 ]
Título da Pergunta:  Re: Definição de limites em R2
Agradeço a sua resposta.

Eu pensei seguir um caminho semelhante a esse, mas como as minhas dúvidas eram mais que as certezas, bloqueei na resolução.
Autor:  João P. Ferreira [ 29 dez 2011, 00:39 ]
Título da Pergunta:  Re: Definição de limites em R2
Não tem problema meu caro, estamos aqui para ajudar :)

Volte sempre
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